Курс вариационного исчисления

7 3 диндр'Ь есть винтовая ли1пя п но поверхности цилиндра между двумя данными точками можно пронести безчпсленное мио- жество винтовых'ь лншй, д'Ь1ающпхт> различное число оборотовъ около цилиндра. СостаБИиъ теиерь дифференщальное уравнен1е геодезической ЛИ1ПИ въ другом^ вид'Ь, бол'Ье удобнолъ для интегрирован!)!. Для этого выразймъ пнымъ образомъ усдов1е перпендикулярности между соприкасающейся плоскостью кривой и касательной ило" скостыо къ данной поверхности. 3^равнев1е соирикасающейся плоскости будетъ: А(Х—х) -f JB(Y-ij)-j-C(Z-^)=0, гд'Ь: А = d^/Ps — В = О = dxdhj — dyd^x, Уравнеие касательной плоскости въ поверхности есть: MX — Ж) -j- n{Y —y)—{Z—s] = ( К гд'Ь и q суть частныя цронзводныа 0 ваятыя по х и у ИЗ'Ь уравнеп1я поверхности; <р у, •?) = С. Услов1е перепендикуллрности двухъ этнхъ плоскостей выра­ зится, какъ изв'Ьстно, такъ; Ар + Bq ~ О О, или подробнее: р {dj/ db —d.s d'j/) -|- (J (d.s d'^x—d.c — dhj —dy d'^cc) — (). Принимая X за независимое перем'Ьнное, будемг имЪть Л?;=0 и кром^ того нзъ уравнешя поверхности найдемг, что (fe — р.сТх й-^^У и d''rj = r.(lx''-{-2t;dxdy-{~tdy'^-\-qir^y, ГД'Ь: , . 1 — . ' dxy ' dx djf dy'^'' • стало быть наше уравнете примете такой вндъ: (pdy —qdx){rdx^-\ -2sdx.dy -\ -t.dy "--\-(ld'^y)—2^{pdx~\-qdy)d^y—dxd^j=Q', разд4лнвъ все ypasHeiiie на dx и нерем'Ьнпвъ знаки, получим'ь: а + . -+ , . 0 + ( , - . . | ) , + 2 . | + < ( | ) ) = о .