Курс вариационного исчисления

72 В'ь общемъ случа'Ь произвести это интегр прован1е невозможно'. Необходимо однако заметить главное свойство геодезической ли­ ши , которое выражено ел дифференц^альнымъ 5фапяен1емъ. Вхо- ([о da da дящ1е въ немъ знаменатели j r i прямо нропорцю- нальны косйнусам'ь угдовъ, которые д'15дает'ь нормаль N къ по- верхности Ф=0 съ осями координать, а числители , i'S iib d — прямо пропорщональны косинусамъ угловъ, которые д4- с'о лаетъ главная нормаль искомой кривой м и , что одно и тоже) рад1усъ кривизны р съ осями координатъ. Следовательно коси­ нусы урдовъ двухъ этпхъ л и т йЖ и р соотв'Ьтственно пропор­ щональны, то есть главная нормаль геодезической лшйн совпа- даетъ съ нормалью къ поверхности. Иначе говоря, въ каждой точке геодезической лин^а соприкасающаяся плоскость перпен­ дикулярна къ поверхности. Эго есть главное свойство геодези­ ческой лищи '••'). Вслкая кривая, обладающая этнмъ свойствомъ, называется геодезическою, хотя она можетъ и не быть кратчай­ шею, если дв'Ь точки, которыя она соединяетъ, достаточно уда­ лены одна отъ другой. Такъ напр. на сфер'Ь дуга бодьгааго круга, большая -полуокружности, есть таьже геодезическая лин1я, хотя она и не есть кратчайшее разстояще между е я оконечно­ стями. Очевидно также, что между двумя точками на поверхности всегда можно провести по крайней M i p i одну геодезическую лин1ю, хотя иногда ихъ можетъ существовать несколько; такъ напрнм'Ьръ, какъ увидимъ ниже, геодезическая л и т я на ци- *) npHMi'iaide. Следуя Монжу, это освовпое свойство геодезичесиой дии1и можета быть обнаружено пошощш иеханнческнхъ соображеиш. Геодезическая 1ин1я им'Ьетъ форму, которую «риыииаегь гибкая и перастлжамая вить, натя­ гиваемая лежду двумя точками на данной новерхности при уыоМи, что эта вить лежвтъ на иоверхиооти iio4mb своими точками и при иереы'Ьщои^и ни одна изъ точекъ ВИТИ ие можета оставить лоцерхвости. (Можно вообразить двЬ без- к.О!1ечио-блвав1Я иараллельныя аоверхиости, между которыми нить перемещается). Очевидно, что лин1я, форму которой ирииимаетъ натянутая вить, будетъ обык- иовенио иратчайшииъ разстоявхекъ между двумя точками, потому что, иатягн- ваа воины нити, мы им'Ьемъ еозыо 7Е ность укоротить ея дднну, иасколысо козво- jHTTi ВТО "форма поверхности. Натявутая вить будетъ въ равцов4«в подъ д'Ьй- ств1емъ ея аатяжеиая в coiipoTUBjeaia ноиерхиоии; но, разсматривая иатяжен1е двухъ смвжннх'ь алеыентовъ кривой, образуемой нитью, мы аалсЬчаем'ь, что рав- нод^нствушщал этихъ двухъ натяженм лежитъ въ илооности ихъ д'Ьйствк, ко­ торая есть, очсвБдго, соиршсасающаяся плоскость кривой; эта равнодействую­ щая должна уравновешиваться еоиротамеи1еи'ь «оверхиости, которое дфйствуета U0 нормали къ поверхаости, и следовательно; „соприкасающаяся плоскость гео­ дезической кривой нроходитъ черезъ нормаль къ иоверхиости въ разоиатривае- . вой T04Kt",