Курс вариационного исчисления

~ 6 2 получатъ изм^нешя, въ выражеши которыхъ, Ером-Ь всей сово­ купности членовъ, ириведеиныхъ выше, взойдутъ безконечно-ма- льтя приращенш, происходящ1я отъ изм4нен1я ж, и жз на и X2-\~dx^. Такимъ образомъ к ъ выраженто S V присоединятся е щ е члены: [ £ ]•- .+[ £ ]• (1X2, ГД^ и Г — 1 Ldxi ! Vdx^A обозначатотъ полаыя производныя V, взятыя н е только по и на сколько эти переменный входятъ яв- нымъ образомъ въ составъ У, но и по j/j, i/^, у\, у\ . . . . кото- р ы я суть функщи и х^. Эти члены въ выражеп1и дадутъ донолнительное прираш;ен1е: dx. Xz [dx^ которо е присоединится къ членамъ, содержащимъ dx^ и dx^ и стоящимъ вн'Ь знака интеграла, именно къ V,.dx2 —r^.dx. К ъ новому выраже тю 88, такижъ образомъ составленному, будутъ приложимы вс'Ь заклточен1я, сд'Ьланныа нами раньше . К а к ъ прнм^ръ на 11риложен1е только что выведеяныхъ нами но- выхъ правилъ разсмотримъ следующее видоизм'Ьнен1е задачи о брахистохрон']!. Требуется найти кривую кратчайшаго ската между двумя кри­ выми, расиоложенными вертикальной плоскости, причемъ нред- нолагается, что движен1е точки начинается съ первой кривой бе зъ начальной ^скорости. 0|— X Положимъ, что уравпе- i ne l - f l верхней кривой есть 1/1=:ф,(ж,), а уравпеюе 2-я нижней кривой, есть cpC^j), Пусть кривая ЛВ бу- детъ искомой брахистохро­ ной; обозначимъ чрезъ ж,, координаты точки А, чрезъ «2, iji координаты точки J3, чрезъ у орди­ нату движущейся точки Ж; тогда скорость ея « б у д е т ъ : •]/2g(y—yi)-