Курс вариационного исчисления

— 5 9 — зам'Ьчая. что | / l + y i ' Ч:,2/ l + y У уI V Z/i-T/I+Z/'I^ l / Ь получимъ l/2a или 1+2/'1фЧж1)=0; д'Ьлавъ тоже самое съ найдемъО 1-)~2/'25б'С®2)—0. Эти два посл'Ьдшя уравнен1я показываютъ намъ, что цикло­ иду нужно провести такъ, чтобы она пересЬкада какъ кривую (1), такъ и кривую (2), иодъ ирямнмъ угломъ. Нетрудно убедиться, что найденныхъ уравнешй вполн'Ь доста­ точно для определения пред'Ьловъ Ж1 и as и пронзвольныхъ по- стоянныхъ а и Ci, введенныхъ интегр11рован{емъ уравнешя (Р) =0 въ уравнеше искомой циклоиды. Въ самомъ д'Ьл'15, изъ двухъ посл'.Ьднихъ уравнешй мы найдемъ у\ въ функцш х^, а у\ въ функщн зат^мъ, такъ-какъ у\ есть функщя х ц а уг есть функц1я Ж2, то изъ уравиетп: пайдемъ Ж1 и жз въ функщи а. Такимъ образомъ координаты то- чекъ А vi В («1 2/,) и {хч, 2/2) будутъ нзвФстныши функщями а . Выразивъ, что циклоида; I ®— У / iT x=c-\-a.arccos —у2ау—у^ цроходптъ черезъ эти двЬ данныя точки, иодучимъ 2 уравеен1я, содер,жащ1а только а и с. Для другаго ирим'Ьра возьмемъ задачу о кривой, которая iipu- вращеши около дайной оси даегь папиепьшую поверхность вра- П1;ен1я, и предположимъ, что крайн1а точки, между которыми должна быть проведена искомая крива,я, должны находиться на данныхъ кривыхъ: Такъ какъ въ этой задач'Ь У= У УЦ^/\ то предельное услов1е будетъ: