Курс вариационного исчисления

— 57 — Такъ что выведенное выше соотношете • 'Щ , геометрически представленное, приводится къ равенству BO^BI)-0'D=B'G'. Очевидно, что В'О' получается равнымъ ВО только потому, что мы отбросили безконечно-малыя высшихъ порядковъ. Р'Ьшимъ теперь задачу о брахистохрон^ въ не­ сколько иномъ BHAi. Подожхшъ, требуется най­ ти кривую кратчайшаго ска­ та, идущую отъ одной дан­ ной кривой къ другой, при чемъ скорость движущейся точки въ каждомъ ея по- ложеши равна той скорости, которую тяжелая точка пр1обр4тала-бы, свободно падая съ н'Ь- которой дз/нной горизонтальной лип1и. Q J ^ Примемъ эту горизон­ тальную JiifHiio за ось X. Тогда скорость точкиЖв ъ ^3^ ея произвольномъ положе- пш будетъ C U V B «=]/ 2ду, а потому время Т прохож- ден1я отъ А ji,o В выра­ зится также," какъ и въ решенной выше задач'Ь о брахистохрон'^, ишенно: Т 1 X, yi-W'' V у Очевидно Т будетъ mi n imum, если OGN и l / j H j / j i / " V ~ iiiiiilmum, а потому будемъ им'Ьть Жз dx. . dx • Fa. - F j . dx^-(- | F i . Sy-\-1 (i? —— ' } , cfe=0. a?i