Курс вариационного исчисления

— 5 6 — Вставляя вместо Г его выражеше получимъ: (г/i)=у. + (%)i + • Послфдшй членъ, какъ безконечно-малое выше перваго по­ рядка, можно отбросать, такъ что окончательно будешъ им'Ьть: но, съ другой стороны, принимая во внимаи1с, что получимъ, ограпичилаясь безконечио-малыми 1-го порядка, (!!/1)=ФК+сй;1)=2/1-1-ф'К). dx^ . Сравнивал эти два выражен1я {у{)^ найдемъ откуда: Т'Ьмъ-же самымъ путемъ отъищемъ, подобное-же соотиоше- Hie и для пред'Ьяьныхъ величннъ, отш']5ченныхъ значкомъ 2, именно: {Ьу\^{ф'{х^)~у\-) .dx^. Такимъ образомъ видимъ, что въ разсматриваешомъ случа']; Н8ъ четырехъ безконечно-малых'ь с[х^,фу)^, dx^ и {oij\ только два совершенно произвольны, а остаяьпыя два опреде­ лятся изъ иайдепныхъ соотношешй. Бояснимъ геометрически выведеииыя нами соотпошен1я. Для этого разсмотримъ какое-нибудь одпо изъ нихъ, напри- М'Ьръ первое: Вообразимъ оси координатъ {осу). Пусть АВ искомая кри­ вая, предельная точка которой В должна находиться на непод вижной кривой MN, и пусть JL'jB'ecTb измененное положенхе кривой АВ всл'ЬдстЕ1е иерсм'Ьны у на у~\-Ьу, тогда BG={Sy)^, - а BD=dx^. Изъ прямоугольпаго треугольника BJDG им'Ьеиъ G"I)=y\ .dx^. Если урйвнеше неподвижной кривой MN есть 2/=ф(ж), то изъ прямоугольнаго треугольника BDB' будемъ им^ть: Б1)=ф'(ж1)- йж,