Курс вариационного исчисления

— 5 5 ~ при пред'Ьлахъ интеграла) и приравнявъ коэффищэнты при иезависимыхъ вар1ац1яхь нулю, получимъ еще 2 п уравнешй, считая въ томъ числ'Ь п уравяен1я, ст'Ьсняющ1я и8М'15нея1я у при ггред'Ьлахъ. Такимъ образомъ видимъ, что вся разница заклю­ чается только въ томъ, что кром^ преяснихъ %п уравяешй бу- демъ им'Ать еще 2 уравнен1я = 0 и П = 0, но зато прибавится и два лишнихъ неизв'Ьстных'Ь iUi и Жа. Слу­ чай, когда XI и Xi совершенно произвольны, н е представляетъ интереса въ нраложетяхъ. Гораздо важнее тотъ случай, когда пред'Ьлы Хх и жа связаны съ у\ н ?/2 данными уравнен1ями, какъ это было въ задач'Ь о брахистохрон^, которая должна быть про­ ведена между двумя данными кривыми лишями. Положцмъ, что cooTHonienie между у й х при верхиемъ пред'Ьл^ жа выразится уравнеюемъ у=.ф[х'), а" при нижнемъ пред'Ьл'Ь х\ уравнеюемъ Мы разсмотримъ пред'Ьльныя величины, отм.'Ьчснныя знач- комъ I. Пусть пред'Ьльныя величины ж и у до вар ьирова тя бу- дутъ XI и yi, тогда им'Ьемъ: m=='h(xO- Если X не изменяется при варьирован1и, то пред'Ьльныя ве­ личины координатъ посл'Ь варьироватя, когда у переменится на T —y-}-Sy, будутъ: I XI и 7ji +( S y ) i = ^ ( y T i . Если-же ири варьироватц и ж, нзм'Ьнится н а Xi~\-dXi, то у\ изменится не только отъ того, что у получитъ ириращен1е §2/, но также отъ того, что х\ въ {ij-\-Sy)i —Yi переменится на Xi-\-dxt. Это новое зиачеи1е ?/), по строке Тейлора, папишется такъ: отбрасывая беакопечно-малыя выше йерва,го порядка, будемъ иметь: