Курс вариационного исчисления

_ 5 4 — Допустимъ, что ф и jfi таковы, что при даютъ для х\ и ж, т'Ь саиыя зна11ен1я, которыя удовлетворлютъ вопросу. Оче­ видно, что это последнее услов1е нисколько не ушеньшаетъ общности нашего разсмотр^шя. Полагая теперь, какъ и прежде, что неизв'Ьстная функщя y'=F{x), удовлетворяющая вопросу, есть частный случай другой бол^е общей функц1и то есть, что при t —tf, F{x) = y, мы найдеыъ, что выражеше S есть функц1я nepeM^HHaro t, ко­ торая при Д'Ьлается т а х т ш п ' о м ъ или minimiim'oM'b, а по­ тому = О и следовательно \ d t / о = f ^ = 0. \dt /о Ж так'Ь, услов1е maxinnim'a п miuiimim'a остается тоже, что I прежде: SS = 0, или подробнее для настоящаго случая ' Xi Vi. с1хч. — Fl. cjxi -)-JoVл1х=^. Ж1 11осл'1)дн1й интеградъ преобразуется также, какъ и прежде, и окажется состоящимъ изъ гЬхъ-же 2-хъ частей, такъ-что окон­ чательно будемъ и м ^ ь ; Хч Й?2 72. - Vdx, -f ^ [(Pi) By -(- (Pa) ^ + .. • • ]-hJ С-РЗ^г/ • • ' XI YpaBHenie это должно существовать при совершенно про- извольныхъ dxi п Следовательно, оно должно им^ть ш^сто н при d x i = 0 и йжа—0. Прияявъ это и повторивъ т ^ же самыя разсужден1я, которыми пользовались при отыскап1и у для наи- больжихъ значеи1й интеграловъ съ постоянными пределами, мы придемъ къ необходимости положить ( P j - 0 . Это будетъ дифферени,1альное уравнен1е 2п порядка. Общ1й • интегралъ его дастъ у' въ фунцши ж и 2п произвольныхъ по- стоянныхъ. KpoMt этого, всл'Ьдств1е произвольности dxi и fe, мы должны будемъ положить Fi — О и F2=0. Зат'Ьмъ, искдючивъ зависимыя Bapian;in (если есть услоБ1я, ст'^сняющ{я пзш'Ьнен1я у