Курс вариационного исчисления

_ 5 3 — Такимъ образомъ ясно, что разсматриваемый рами случай не требуетъ ни какого существеннаго дополнешя. ПрежнМ пр1емъ вычислешя, соединенный съ обыкновенными правилами дифференщальнаго исчислешя, даетъ полное р^шеше вопроса. Т'Ьмъ не менЪе въ носл'Ьдующемъ мы изложнмъ, что было при­ думано для того, чтобы и этотъ случай заключить въ общемъ разсмотр'Ьн1и. Покажемъ, какъ нужно изменить вйведенныя прежде фор­ мулы для того, чтобы можно было приложпть нхъ къ общему случаю. Пусть у изменяется на у-\-Ьу^ а ж, и Жа на x^-\-dxi и тогда, ограничиваясь безконечно-малыми перваго поряд­ ка, найдемъ хч-\-йха, х^ §S =^iV-j-Sr) ах-^ Vdx-, x\-\-dx\. XI но oci~\-dxi Xi Xi-\-axi j ( F+ § 7 ) £ f « = - j ( F - f S 7 ) ( y « + j ( F - f V ) x\ OG^ ( •^'•'+0 (— (^•«0+j(v-j-8 V) £ &;+( 72+ £') dx^ Xi гд4 V,-|- £ и Уа+е' суть средн1я величины подъинтегральной функщи У-|-§У при изм'Ьнен1и х отъ x=xi до x=x-\-dxi и отъ х=х ^ до х—ос^-\-(1х^, при чемъ £ и е' суть количества безконечно малыя, а (—dx^) и dx^ суть разности пред'Ьловъ интегрировашя. Вставляя это последнее выра}кен1е въ ЬЗ и отбрасывая безЕОпеч- но-малыя высшаго порядка, то есть— zdx\ и—е'а^жг, найдешь хч Хз 8S= ~Vi dx+Vi ( f e a - j vax, XI Xl или гй O/S= 1 SV. dx-\~V4 ЙЖ2— Fitfei. «1 Въ выразкен1и 8 x, и хч суть количества, изменяющаяся со­ вершенно произвольно, независимо отъ другихъ. Ол'Ьдователь- но мы можемъ разсматривать ихъ, какъ совершенно нроизволь- ныя функц1и перем^ннаго параметра t Xi=(f){t).