Курс вариационного исчисления

52 - моасеть считаться окончательно решенною. % о же касается до опред^летя положен1я точекъ Ж п Ж" на кривыхъ АВ и GD, то это уже будетъ вопросъ дифференц1альнаго исчисления. Дей­ ствительно, время арохожден1я тяжелой точки отъ Ж' до Ж" по циклоид'Ь, уравнен1е которой будетъ содержать координаты крайнихъ точекъ Ш и Ж^', черезъ которыя она должна прохо­ дить, пыраяптся въ фуякцш ординатъ (или абсциссъ) начальной и конечной точки, и сл'][5Д0Бательн0 иамъ придется только найти по цравпламъ дифференщальнаго исчисленхя minifflum для этой функцш двухъ перемйнныхъ. Сказанное относится только къ частному прим']5ру, по можно доказать справедливость этого зам'Ьчанй и въ общемъ случа'Ь. Лоложимъ, им']5емъ а и «2 суть перемйнныл величины, и пусть требуется найти нeизв^icтныfi видъ функц1п у и числовыя величины пред' £ ловъ «J и такъ, чтобы разсматриваемый иптегралъ S былъ maxi ­ mum или minimum. Л утверждаю, что таже самая фyнкцiя y = (s^{x), которая дйлаетъ интегралъ! V.dx нанбольшимъ или наименьшимъ въ предположеши, что пред'1!лы интегриро1!ан1я постоянны, будетъ служить намъ р':1[5шетемъ вопроса и иъ разсматриваемомъ слу- ча-Ь. Бъ самомъ д'Ьл'Ь, вообразимъ, что пред'Ьлн иптегрирован1я и «2 постоянны н что имъ даны именно т4 самыя 3Ha4eHifl, которыя должны получиться ири р еше т и этой задачи, а функ- u;ifl у оставлена неизвестною. Тогда, если будеиъ искать видъ функц1и у, то по изв']5Стнымъ уже иамъ правиламъ найдемъ у=<^{х) и ясно, что никакая другая функд1я не можетъ быть найдена, такъ-какъ именно эта фyнкдiя при постоянныхъ, но совершенно произвольныхъ значен1яхъ пред'Ьловъ и Д'^^- лаетъ интегралъ 8 наибольтаимъ или наименьшимъ. Если за- гЬмъ вообразимъ, что эта функц1я y=(s^{x) вставлена въ ин­ тегралъ и произведено иптегрирован1е между неизвестными пределами и ж^, то выражея1е 8 будетъ функц1ей только двухъ независимыхъ переы'Ьнныхъ х^ и х^, а потому наибольшее или наименьшее значеи1е S найдется по обыкиовеннымъ ирави- ламъ дифференд1альнаго псчислетя. гд§ ж, y=f (ж, у, у', У" 2//"^)