Курс вариационного исчисления

~ 51 - Этой задачей мы закончимъ разсмотр'Ьн1е интеграловъ съ постояпными пределами и перейдемъ къ другому вопросу, не­ сколько боЛ'Ье общему. Интегралы съ nepeivitHHbiiviH npeAtflaiWM. Возыиемъ опять выражеше г* 8 = ^ Vclx^ а?! для котораго желаемъ найти наибольшее или наименьшее вна- таше, и ПОЛОЖИМ!, что изи'Ьнешя S происходятъ не только отъ изм4нен1я (|)yHKi];iff, входящихъ въ выражеше У, но и отъ варьи- роБан1я пред'Ьловъ xt н Можно убедиться простьшъ разсуж- дешемъ, что такое расширеше вопроса не представляетъ, соб­ ственно говоря, новой задачи для вар1ац1оннаго исчисден1я. Для прим'Ьра разсмотримъ, каыя изм']&нен1я должны быть сд'Ьланы въ р-Ьшен1и задачи о брахистохрон-Ь въ случай иерем^нпыхъ пред^ловъ и х^. Задача въ этомъ обобщенномъ вид4 мо- жетъ быть'^постаилена тажимъ образомъ. Даны въ вертикальной плоско­ сти дв'Ь кривыя АВ и GB. Требуется найти кривую, по которой тяжелая точка перей- детъ съ АВ на С,J) .въ наи­ меньшее время, предполагая наприм'Ьръ, что онаначинаетъ двйжен1е безъ начальной ско- \ рости. Во иервыхъ, можно до- \ казать, что припая кратчай- D шаго ската будетъ и въ этомъ А случай циклоида. Действи­ тельно, Ркакопы бы пи были точкп Ж и Ж", пзятыя на крп- выхъ АВ и GJD, между ними всегда можно провести циклоиду, им'Ьющую точку возврата въ Ж и ось, направленную горивоп- тально, и 0та кривая будетъ ио предыдущему кривой наиско- р-Ьгшаго ската для тяжелой точки, начинающей движен1е пзъ Ж' безъ начальной скорости; никакая другая кривая, проведенная между точками Ж' и Ж", не обладаетъ этимъ свойствомъ. И такъ, мы можемъ считать изв^стнымъ, что искомая кривая долж­ на быть циклоидой, оп ред'Ьлешшмъ образощъ расположенной, и этимъ часть вопроса, зависяп1,ая отъ вар1адюннаго исчислен1я, 4*