Курс вариационного исчисления

— ,43 ~ Если кром'Ь неподвижности точекъ А а В дано, что каСсЯ- тельньш въ э т и х ъ точкахъ должны им4ть опред'Ьлеиныя данныя направлешя, т о (Ьг/), = О 1 ( V ) i = О и предельное у с л о в 1 е удовлет1!орится само собою. Въ этомъ слу­ чай произвольныя п о столнныя определятся И31 условк, что кри­ вая проходитъ чсрезъ точки А п В и что касательныя въ э т ихъ точкахъ йМ'Ьтотъ д а н н ы я направден1я, Если-же точки J. и В д аны неподвижными, а на1травлен1е касательныхъ въ этихъ точкахъ произвольно и л и — ч т о тоже,—рад1усы кривизны въ двухъ к р а й - •нихъ точкахъ А я J3 могутъ изи'Ьнать свое направлеше, то пре­ дельное условхе,. всл'Ьдств1е произвольности ( V ) a •' д а е т ъ сл'Ьдуюш,1я два у р а в н е ш я ; С 1 ± Л 2 ! _ о „ ( ! + « • t/ а® 2/ V Эти уравненхя м о г у т ъ быть удовлетворены только тогда, ко г да y".i= CD н 2/"i= GC, т о есть радхусы кривизны въ двухъ крайнихъ точкахъ' Л п JB д о лжны бить равны нулю. А это ноказнваетъ, что д в е точки в о з в р а т а циклоиды (гд'Ь рад1усъ кривизны, к а к ъ нзв'Ьстно, р а в е н ъ н у лю ) находятся пъ двухъ данныхъ точкахъ А и В, и следоват ельно , прямая АВ будетъ служить основа- шемъ полной в Ь т в и циыонди , идущей, отъ А къ В. Это по­ следнее услот'е и послужитъ наиъ для опред'1!ле11]л произволь- иыхъ постоянныхъ . З а д а ч а Н ь ю т о п а. (4). Найти форму, которую нужно дать т е л у враш;ен1я для того, чтобы при поступательномъ его движен1а в ъ жидкости по направлешю параллельному о с и вращен]я, оно испытыпало-бы наименьшее со11ротивлен1е. При peinenii-i э т о й задачи, примеиъ въ ocnoBanie следуюп1;с!е опытное !10л;05кеи1е: если некоторая илоп1,адь s перемещается в ъ жидкости цо направлешю къ н е й иерпеидикулярному, со скоростью iv< то сопротиклеше, оказываемое жидкостью будет'Ь kpsv'^ где h по­ стоянный коэфи1Цэигь, а р плот­ ность жидкости, Положимъ, что т а - гке плоская CTiria д,иижется со скоростью v но наиравлеипо, образующему уголъ ip съ иернен- дикуляромъ къ плоскости S. Раздо- жимъ скорость V на две: одну, п а - правлениуго въ илощади s, другую, U0 перпендикуляру къ этой площади; эта последняя скорость удетъ «coscp, а п о т о м у давлеше на стйику, происходящее п а