Курс вариационного исчисления

— 39 - Пропедемъ изъ точки О' дв'Ь дуги круга: одну рад1усомъ О ' Ж до пересЬченк съ продолжешеиъ нормали О'Ж, другую рад1усом'ь О'Ж до перес^чешя съ нормалью О'Ж'. Такииъ образожъ иолу- чимъ два круговыхъ сектора. Площадь иерваго кругоиаго сектора будетъ бол'Ье площади МО'М'^^д, площадь втораго будетъ мен^е площади ШО'Ж. Выражая это, цолучимъ: Va МО'' сЦ = ' Д(ЖО'+ £ )^й(р> пл. (ikfO'ilf) >'1^М0".ddj, гд'Ь £ есть келичина безконечно малая. Такъ какъ два крайнихъ члена неравенства отличаются другъ отъ друга на безконечно малыя выешаго порядка относительно (?<f, то следовательно пло­ щадь ЖОМ' отличается отъ ЖО'". tftp только на безконечно малыя выешаго порядка. Называя всю искомую площадь черезъ 8, будемъ им'Ьть: Я = Lim £ <J(p. Но Ж О' отличается отъ рад1уса кривизны р въ точк'Ь 31 также иа величину безконечно малую, такъ-что МО'•-= р - 1 - в с л ' Ь д - CTBie чего въ полученной сумм'Ь безконечно малое с/ф можно зам'Ьнить безконечно малымъ р'^. гГ(р и такимъ образомъ получимъ окончательно 8= , Припоипимъ, что рад1усъ кривизны р = гд4 s=-.arcAM, а а есть уголъ касательной въ точкй Ж съ осью х, и такъ какъ т: ^ ^ ds а. =z(!^ — ^ , то сГа = c^tp и р =— . Вставляя оту величину въ найдеппоо выражеше для 8 , по­ лучимъ: '•'-у?! dtp Называя абсциссы точевъ А п В черезъ xi и жз, будемъ ии'Ьть; жа Xi Разсиатривая найденное выражен1е, видимъ, что нодъ иите- гра.льная фуцкщя у"