Курс вариационного исчисления

~ 3 8 — Л неподвижна, а точка В иожетъ изм'Ьнять свое положен1е, всегда оставаясь па вертикальной лиши, им'Ьющей своей абсцис­ сой Ж1, то иостоянныле ж а опред'Ьлятся изъ услов1я, что цик­ лоида проходитъ чрезъ точку А и что вершина е я находится въ T04Hsi В . Задача 3. Между двумя данными точками провести такую кривую, для которой площадь, ограниченная этой кривой, двумя рад1усами кривизны въ ея крайнихъ точкахъ и ея разверткой, бнгла:бы наименьшая. Положимъ, что на плоскости say даны дв'Ь постояпн-ыя точки Л я В. HyjKHO провести кривую ЛВ такъ, чтобы илощадь ОЛВВ была minimum. AG и BD рад1усы кривизны ЕЪ точкахъ А п В, ОВ развертка кривой АВ. тельно будетъ лежать на раг^вертк-Ь GB. Бею илощадь GABB можно разсматривать, какъ пред'Ьлъ суммы безконечво ыалыхъ площадей такихъ секторовъ как'Ь ШО'Ш. Им4я въ виду нахождеие пред'Ьла суммы безконечно малыхъ площадей, мы при опред'Ьлен1и величины площади ШО'М мо- жемъ отбросить безконечно малыя высшаго порядка нредъ без­ конечно шалыми низшаго порядка. Обозначая уголъ нормали МО' с'ь осью X черезъ <р и безконечно малый уголъ ЖО'М' черевъ tfcp, найдемъ, что илощадь круроваго сектора при рад1ус'Ь рав- пом'ь МО' й при ум'Ь с^ср будетъ — ~ МО'.ЖО'. Нетрудно уб1!диться, что найденная величина площади круговаго сектора отличается отъ площади враволинейнаго сек­ тора МО'М' на безконечно малую величину высшаго порядка. Представнмъ себ'Ь, что проведено безчисленное мнозкество безконечно близкихъ другъ къ другу нормалей, ВсЬ эти нор­ мали бз'дутъ касатель­ ными къ раявертк'11 С©, Вояьиемъ дв'Ь смежныя безконечно бдизк1н нор­ мальный jHHiii въ точ­ кахъ М и Ж'. ITepec'li- 4enie этихъ двухъ без- конечно близкахъ нориа- •ней, точка О', въ ире- д'Ьл'Ь будетъ центромъ m кривизны кривой АВ аля точки М, и сл'1здо)1а-