Курс вариационного исчисления

_ 37 — Положймъ точка Л . дана неподвижной, тогда какъ для точки -S дана только пос тоянная абсцисса ж,, ордината-же i/i произ­ вольна. Бъ этомъ с л у ч а й (Si/),, == О, а (S2/)j есть произвольная безконечно малая функц1я ж,; сл'Ьдовательно, предельное усло- Bie будеть: W ' - »• Такъ какъ (Sy)! в о о бще не равно нулю, то полученное урав- Henie можетъ быть удовлетворено только, когда положймъ 2/'i=0. Это равенство и п о с л ужи т ь для опред'Ьлен1я постояннаго д. Оно показываетъ, что васательная къ циклоид'Ь въ точк-Ь В парал­ лельна оси ж, то е с т ь , что вершина циклоиды находится въ точк'Ь JB; а потому абсцисса ал: 2i:a ж, X, = - т г - = откуда в = -1. г/1 2а = Разстоян1е точки В отъ осп ж, соот- в'Ьтствуюпдее наимень­ шему времени, будетъ •к Еслибы тяжелая точка выходила ивъ А съ данной началь­ ной скоростью tJj, то за ось ж приняли-бы горизонтальную лин1ю x'af, ле7кащую выше Л х и на такомъ раз- стоянш, чтобы т яж е л а я точка, идя отъ нея до Л, npioepiTaja в ъ А скорость, р а в н у ю данной начальной скорости Это разстоянхе найдется язъ сл'Ьдующаго еоотяошен1я, существующаго м ежд у скоростью и высотой падетя: V, ==.]/2ду,, Выраже т е с к о р о с т и въ произвольной точк'1) останется тоже, ч т о и въ пр е дыд ущемъ случа'Ь; v = ]/2gy, следовательно и p ^meHi o задачи останется безъ перем'Ьны. Но точка возврата ц и к л о и ды будетъ находиться в ъ этомъ случай на оси х'х'. Производьныя постоянпыя с' и въ случай неподвиж­ ности точекъ А а В, определятся азъ услов1я, что кривая долзкна проходить чрез-ь эти ДБ4 данныя точки. Если-ж.е точка