Курс вариационного исчисления

—з е— d, {а—у) , у ) d(a — у) ж = с' -|- а. arccos- ^ ^ — y'Xai/—i/''- Постоянное с' легко определится, если зам'Ьтниъ, что при у = О им^ежъ и ж = О, стало-быть с' = О й а—у x=^a. arccos 2ау ~у\ Это есть уравнеще циклоиды, для которой верхняя точка есть точка возврата; основан1е-же циклоиды направлено по оси х . Для опред^лешя произвольнаго постояннаго а равсиотримъ пред'Ьльное услов1е, то есть уравнен1е (П1). Такъ какъ подъин- тетральная функщя ]/!+/ ^ И 'Ч У У зависйтъ только отъ у и у\ то Р^-О h(P i ) = P i . Сл-Ьдовательно*" ypasHeflie (Ш) для нашего случая будетъ: ж, jPv ^2/=0. Заи'Ьняя въ этоиъ уравнешн P i его величиной — = 2/^ _ у' ^У ]/ у (1+2/"^) ]/2а и производя д'Ьйств1е, указанное знакомъ подстановки, долучимъ пред'Ьльное услов1е въ такомъ вид'Ь; • г ^ . (§2/).- О, У 2а у ia гд'Ь у \ и у \ суть значен1я у ' при ж = и при ж — О, а фу^х и Ф у \ суть вар1ащи у при т'Ьхъ-же значеп1якъ независимаго перем^ннаго. Если точки А ч Б даются неподвижными, то (8у\ = О и { 8y \ z=0 и предельное услов1е, удовлетворяясь само собой, н е опред'Ьляетъ произвольнаго постояннаго а. Это показываетъ, что въ самой задач^ имеются усло1!1я для опред'1злешя произвольнаго ностояннаго. Въ саиоиъ д'Ьл'Ь в ъ этомъ случай постоянное а ыожетъ-быть определено изъ того услов1я, что кривая должна проходить чрезъ точку Д коорди­ наты которой даны.