Курс вариационного исчисления

32 — Это дифференщальное у р а в н е т е 2-го порядка, а непосредственно получили бы у р а в н е т е 4-го порядка. 2-й случай. Положимъ, что V не содержись тогда Р = 0 и уравнете ( Р ) - 0 приводится къ такому: dx dx"' dx'^ По интегрирован1и этого уравнетя , полутамъ Р I , или (Р,) = с. Это будетъ дифференд1альное уравнеше порядка 2п— 1. Если положимъ, что V не содержите у и у', тогда Р = 0 и Pi=--0 и у р а в н е т е (II) будетъ; cPPi й»Рз , „ Это ypaBHenie можно объиптегрировать два раза, посл^ чего получимъ: •П «^-Ра I I ~ Тх +•••"<^+'^1^' или (Pjj)= C-f-Ci ®. Это будетъ уравнеше порядка 2и—2. Точно также, еслибы V пе содержало у, у' у," то порядокъ уравнен1я (П) можно было-бы понизить н а 3 единицы и т. д. dpHMtpbi ptmeHifl задачъ. Мы будемъ разсматривать одно необходимое условие maximum'a и minimu'ma, состоящее въ томъ, что Чтоже касается до отлич1я maximum'a отъ mmimum'a, то мы его пока не будемъ д'Ьлать, а будемъ по самому свойству вопроса заключать, допускаетъ-ли онъ maximum или minimum. Задача 1. Найти кратчайшее разстояте между двумя точками на плоскости.