Курс вариационного исчисления

— 31 — tiTO м о ж н о непосредственно нров'Ьрить. Такъ какъ в ъ обЬ части э т о г о р а в е н с т а входятъ только производныя по х. то мы мо- ж е м ъ е г о объинтегрировать одинъ разъ и тогда получимъ V ^ I л --л Т> ' 1 7 ? ' " ' I г Т а к и м ъ образомъ вместо у р а в н е т я ( Л = О, к о т о р о е было-бы въ нашемъ случай 6-го порядка, мы получили у р а в н е н х е , тоже диффереещальное, но только 5-го порядка d^F ( т а к ъ - к а к ъ с о д е р ж . и т ъ вообще и такимъ образомъ по­ н и з и л и п о р я д о к ъ у р а в н е т я на единицу. З д - Ь с ь важны два частные случая, которые часто встречаются в ъ п р и л о ж е т я х ъ . a ) Но л о жи м ъ , что У н е содержитъ ж, но содержитъ только V и у", т а к ъ - ч т о Г=Пу,г/). В ъ э т о м - ь случай Р , =- О и i?3 = О и у р а в н е н 1 е наше обратится въ Т = c - b i ? , / . Это б у д е т ъ диффереищальное уравнеше 1-го порядка, интегри р о в а н 1 е котораго доставитъ у . b ) По л ожи и ъ F содержитъ только у и ?/"„ такъ что У = f (г/,У1- В ъ э т о м ъ случай Р = 0, i ? 3 - 0 и y p a B H e s i e иаше обратится въ riV F-C+ + у: Это y p a B E e a i e еще упрощается, такъ какъ уравнен1е ( Р ) - 0 в ъ э т о м - ь случай будетъ = 0. с1х О т с ю д а интегрировашемъ получимъ: Т\ I о + ft- В с т а в и и ъ это выражен1е P^ въ V, найдемъ тг г 'Г г , тз - V=e + с,у + ^.у+Р,у У и п о с о к р аще н 1 и F = с - { - с , у ' Ц- Р ^ у"