Курс вариационного исчисления

- - 30 - такъ что мы все-таки будемъ и -м^ т ь 2п уравне тй , достаточныхъ для onpexiieHia всЬхъ постояес яыхъ. При р'Ьшеши вопросовъ о н а н б о л ьши х ъ и наименьшнхъ зна- чешяхъ опред'Ьленныхъ инт е г р а л о в ъ в с я сила заключается в ъ интегрирован1'и уравнен1я (II), т а к ъ что указашя о возможности у11рощен1я этого уравнеп1я в ' ь н4которы1ъ частныхъ случаяхъ весьма полезны, потому мы и с д ' Ьл а емъ несколько зам4чап1й объ этомъ предмет!)• 3aivit4aHifl объинтегрироваши уравнежя (II). Уравнеше (II) вообще б у д е т ъ 2п-го порядка. Укажемъ н а caiayioimie случаи, в ъ которыхг ь порядокъ его можетъ быть по- низкенъ на одну или на дв'Ь е д и н и ц ы . 1-й случай. Полошш'ь, ч т о ф у н и щ я V не еодержитъ ж. Чтобн показать, какъ у п р о с т и т с я уравнеше (II) въ этомъ случа'Ь, предположимъ, что V я е еодержитъ производныхъ выше у'", при чемъ мы это дйлаемъ т ол ь ко для простоты вычислен1й; гЬ-же разсужден1я могли-бы б ы т ь приложены, когда V содержа­ ло-бы 2/^") . И такъ пусть; Въ этомъ слуаф пронз1Юдна.л ~ = P i / ' +P , Г ' ' + i ' s '/"• Изъ уравнешя ( Р ) = О сл'Ьдуетъ, что V I ^"-^8 . сГж ' dF Вставивъ ' это выражен1е JF* в ъ выражеше производной и расположивъ члены такъ, ч т о б ы указатели при F возрастали, получимъ; + "J + ( w © у). Каждая изъ скобокъ предста.зляет'ь полную производную, имен­ но будетъ им'Ьть: tlV / т, А ( /т, <^^3 Л ^ / р „ " 4 - — Л