Курс вариационного исчисления

— 28 — обходимо, чтобы всЬ коэффнщэиты п ри й, ,Ь, каждый отдельно были равны: нулю. Такимъ образомъ это ypaBHenie разложится в а 2п сл'Ьдующихъ уравнен1й ж, ж, X i ж, ](JP,)=0; ] (Р . )=- 0 ; ^ ( Р з ) = 0 . . . . . | ( Р „ ) - 0 ^2 ^2 1 т = о ,• I (РЮ - о I (Рз) ==0 1 (ДО = О. Этимъ 2п уравнен{ямъ должна будетъ удовлетворять искомая функщя у. Вставивъ вместо у въ эти уравнен1я его выражен1е F { x ^ c ^ , c i , C2,i), найдепное чре зъ интегрирован1е уравнешя (П), получииъ 2п уравненш съ 2п HeHSBlieTHHMH постоянными Ci,c^,c^ Cju- Изъ этихъ уравнешн мы найдемъ в е т ч и н ы всЬхъ постоянныхъ и функщя у будетъ вполн4 определена. 2-й случай. Положимъ, что даны н4которыя услов1я, ст^сня- ющ1я изм'Ьнея1я у и его производныхъ п ри одномъ или при обо- нхъ иред'Ьлахъ интегрировашя. Пусть дано такихъ.услов1й *), связывающпхъ между собою вар1ащи; Ж] «2 х\ I I ]-%•• Тогда ВСЁ варйщ1и уже не будутъ произво.!1ьны, потому что изъ этих'ь j j у словм мыбудемъ въ состоянш выразить ^ вар1ащй въ функщи остальныхъ 2п—р. Эти остальная 2п—р вар1ащй оста­ ются уже произвольными. Поэтому, если внесемъ въ уравнеше(1П} вм'Ьсто р Bapiaii,ii ихъ выражешя въ функщи остальныхъ 2п~р, оиред'Ьленныя изъ р данныхъ у с ло вм , то в ъ 1-й части этого урав- нен1я иолучимъ 2 и— р членовъ, изъ которыхъ каждый будетъ умно- женъ на произвольную вар1ащю. Удовлетворить этому уравненш *) Э'щ услов1я необходимо будуть иы'Ьть лниейиый пидъ относительно sapi- ai!,i5. Д4йотБИ1'едьпо, если-бы намъ было дано уравяен1е которому должны удовлетворять пред'Ьдиыя величины г/ и его производиыхъ, то, пзявъ вар1ацш, и, следовательно, ограничиваясь бевконечно малыми нерваго иорядка, будемъ ииФть или, U0 прежнему обозна'чен1ю, Ж1 ж^ Ж1 (IF } ^ dF 1 ^ , dF t d^y , dy} I "У ^ dy^ I rfyi' / 'dx ~