Курс вариационного исчисления

— 2 6 - положительны и потому н е б у д е т ъ - О и следовательно усло- Bieraaxinium'a или н ш ш ш т ' а н е будетъ соблюдено. Ж такъ, нельзя предположить, чтобы ( J P ) н е равнялось нулю и, следова­ тельно, 1!ъ случае maximuin'a и л и mi n imum ' a необходимо должно быть: ( - ^ ) == 0 . (II) Зат^мъ, если ( P j О, то д о л и к н о - б ы т ь также: ' [ [(J*!) •^y+C-J'a) " Ь 4 - (Рп) = 0. (Ш) Эти-то два уравпеп1я (П) и (Ш) и дадутъ все, что нужно, для полнаго репшп1я з а н и м а г о щ а г о насъ вопроса. Раясмотрии . !)тп ypaBiicniix н-Ьсколько ближе. Уравнеше (II) ость дцфферетцальнос : п р о и з в о д н ы я у', у", у'".... входятъ въ V, а следо11атс?л11ио и в'ь Р , /'i, -Pu . Высшая производная, входя- ГА гл Hi,iui въ V есть , «:)та-жо т г р о и з в о д а а я будетъ вообще входить и В'ЬР „ = - А потому ш р а г к е и х е входящее въ составъ будетъ содержать с л ' Ьд о в а т е л ь н о , уравнен1е (II) бу­ детъ диффоропщальпоо y p a i i n e n i e 2п порядка. Порядокъ его, itaia. «цдии'г., пдпое бол'Ьс « о р л д к а высшей производной, входя­ щей в'Ь BupaiKoiiio и о д ъ и и т е г р а л ь и о и Функцш V. Жнтегрирова- itio отого ypaiiiuniin и должно н а м ъ доставить форму неизвестной фупкцги у . Общ1й ицтегралъ у р а в я е ш я н е определить однако )!1И)лп'11 ;)Toii функц»!, потому ч т о , какъ известно, онъ будетъ содержать произвольпих'ь и о с а ^ о я н н ы х ъ и решен1е этого урав- неп1я, если мы его пайдеиъ, б у д е т ъ име т ь видъ у — Cjn). Наша надача тогда только б у д е т ъ р еше на , когда мы нар1деиъ величины вс'Ьх'ь зтихъ п р о и з в о л ь н ы х ъ постоянныхъ. Но мы нм'Ьеиъ еще уравнедио (Ш). В о а " ь это-то уравнеше и послужить памъ для опр еделешя всех'ь п р о и з в о л ь н ы х ъ постояпныхъ. Ту т ъ падо различать с л е д у ю щ 1 е два случая: 1-й случай. Положимъ, ч т о н а м ъ н е дано никакихъ условШ, стеспяющихъ измепеп1я у и е г о производныхъ при пределахъ иптегрпровашя. Тогда я г о в о р ю , ч(то з н а ч е т я . dSy ^ ^ ' сГж ' '