Курс вариационного исчисления

— 25 — - д ^ л е нш dt^. Ж такъ, з д ' Ь с ь maximum отъ mimmum'a отличается по знаку 2-й вар1ац1а S ^ S . Мы Остановимся пока исключит ' ельно на разсмотр'Ьши 1-го необходимаго услов1я §Я=0; что к а с а е т с я до отдич1я niaximum'a отъ minimum'a, то хотя въ теоретич^ескомъ отношеЕ1и вопросъ объ этомъ предмет'Ь нм^еть в ы с о к у ю важность для вар1ац1он:- наго исчислен1я, мы должны б у д е м ъ , въ виду большой сложности относящихся сюда изсл'Ьдовашй, о с т а в и т ь его безъ разсмот]3'Ьн1я. Если позволите время, я изложу вт10СЛ'Ьдств1и его р^шеше, н о только для прост'Ьйшихъ частныхть случаевъ. Полное р'йшеше этого вопроса для простыхъ и н т е г р а л о в ъ составляетъ одно изъ лучшихъ открыетй Якоби. Оъ п р а к т и ч е с к о й стороны для большей части вопросовъ о нанбольшихъ н ианменьшихъ зиачешяхъ ин­ теграловъ признаки, отличающ1е max imum отъ minimum'a, н е являются необходимыми, потому ч ; т о это отлич1е легко д'Ьлается а p r i o r i изъ свойствъ самой з а д а ч и . Возьмемъ теперь выведенное в ы ш е выражен!е 8S и приравня- емъ его 0 . Равенство это должно им ' Ьт ь мйсто, какую-бы форму мы н и иридали безконечно малой ф у н к щ и Sy. Чтобы выполнить это Tpe6oBaHie, я утверждаю, ч т о небходимо положить (Р)==0; иначе оно не можетъ-быть в ы н о л н е н о . Д'Ьйствительно, если ( Р ) н е=0 , а будетъ > или < О, то в с е г д а можно будетъ выбрать для оу такую форму, что SS не будетъ р а в н о нулю, и следовательно S не будетъ ни maximum'oшъ ни m i n i m u m ' o i ^ . Въ самошъ д'Ьл'Ь, дадимъ Sy видъ гд'Ь а произвольная безконечно м а л а я функц1я ж. Если я дамъ 8у такую форму, то легко в и д 4 г ь , что bc J s члены, стояш,1е вп'Ь знака интеграла въ формул'Ь (I), будутъ==0. Д'Ьйствительно, самая фyнкцiJ £ S y и всЬ ея производныя до п — 1 порядка очевидно будутъп р и этомъ содержать множителей X — Ж1 и а; — жа въ п о л ожи т е л ь иых ъ степеняхъ; поэтому всЬ эти чл ены обратятся въ нули, к о г д а сд'Ьлаемъ ж = ж, или ж=ж2; и такимъ образомъ при этой ф о р м ' Ь фуикщи Sy выражеше ва- р1ац1и приведется къ виду: Т е п е р ь , такъ какъ а с о в е р ш е н н о произвольно, то мы можеиъ взять его такъ, чтобы при (Р)> - 0 было и а >(), а при (Р) < 0 было-бы и а < 0; тогда въэтомЪ ина.'еграл'Ь вс'Ь эдешенты будутъ а(ж—ж,)2" (а; , X,