Курс вариационного исчисления

— 24 гд^Ь У им'Ьетъ указанное прежде значеше, и положимъ, что намъ требуется найти, какую форму надо дать неизв'Ьстной фунвцш у для 'гого, чтобы этотъ интегралъ получилъ наибольшую или наименьшую величину. Воирое-ь этотъ можетъ быть ириведенть къ обыкновенному вопросу о maximum'^ или mmimura''b, который разсматривался БЪ дифференщальномъ иечисленхи. Пусть y=f{x) есть искомый видъ функцш, при !которомъ интегралъ будетъ maximum или mmimum. Будемъ эту функц1ю разсматривать, какъ частный случай другой—бол'Ье общаго вида, которая вром'Ь ж содержитъ въ се- б'Ъ переменный параметръ t и которая при частномъ значенш цараметра обращается въ f[x). Пусть эта функц1я будетъ <р (ж, f) и положимъ, что при t = t^, гд'Ь определенное число, эта функц1я обращается в ъ искомую f(_x), такъ-что ср( x A , ) ^ f { x ) . Вообразинъ теперь, что вместо у въ интегралъ вставлена эта функ,ц1я ср (ж, iS); тогда весь интегралъ представится, какъ и'Ькоторая функц1я параметра t, и эта фyнкцiя при по предположенш, будетъ maxiimim или т ш ш ю н , а потому, по изв'Ьстной теорем'Ь о наиболыпихъ и наименьшихъ, производная d8 этой фуншци -'jj- должна быть= 0 при t — следовательно, dt также • (f).- »- Но первая часть этого равенства и представляетъ то самое, что мы назвали выше вар1ац1ею функц1и Я, ибо по оиред'Ьлвшю; Такимъ образомъ выходитъ, что въ елуча'Ь inaxiimim'a или minimiira'a мы необходимо должы им4ть равенство: S s = 0 . Для 'о'Глич1я maximum'a отъ minimum'a нужно, какъ намъ ^.•"8 известно изъ днфференц1альнаго исчислешя, разсматривать и определить е я внакъ при t = t i ^ . Но этотъ знакъ будетъ оче­ видно одинаковъ со внакомъ 2-й вар1ац1и o^S, которая по оире-