Курс вариационного исчисления

— 19 тогда: V = f (.г,г/, г/, у",.... ). Чтобы полушпч! Bapianiro V, ограничиваясь пе рвыг ь иоряд- комъ безконечно малыхъ, перем'Ьнимъ у на у -|- 8у\ псл'Ьдств1е этого / перем']Ьнитея па y'-\-^y'i у" переменятся н а у"-\-8у" Вар1ад1я нашей функдги будетъ: ^V = f (ж,2 / + ^ ? / , « / ' - h V , 2 / " + V - - - 0 - / i/> у', у"---) съ т']Ьм'ь, чтобы въ этой разности были удержаны только чле­ ны 1-го порядка. Разлагая ее по с т р о й Тейлора, получимъ: c f F л 1 c f F л , . c^F" Прииемъ теперь ташя обозначен1я (Муаньо): ^ = р .^ = Р . V йу ' ' dy' dy" ^ Тогда S F ^ P §2/+ - Р , V + Р, V F.M'- Если зам4тииъ, что s,y^ S,J.^ dx •' dx^ то получимъ окончательно вар1ацш нашей функц1и въ вид^Ь: Небезполезно сравнить вар1ащго функц1и съ дифференща- лоиъ. Пусть 2/ = /•(»); тогда dy = f{x-{-dx) —f{x)\, ограничиваясь въ этой разности только членомъ 1-го порядка, ии'Ьемъ dy — f {pa).dx, п ри чемъ fix) есть опред'Ьлеиная функцм. Чтобы получить ва- р1ацш, мы должны взять такую ф у н к ц 1 1 0 ср (pc,f)^ чтобы при ^ было ср = f {^)i и тогда: §2/= ср(ж,^„ 4^dt) — f ( ж ) ; 2*