Курс вариационного исчисления

Озва'ЧСЯМ'Ь ч р е з ъ а, [3, Y косинусы угювъ, д'Ьдаемыхъ съ осями п е р п е н д и к у д я р о и ъ , о и ущ е н н ым ъ изъ начала координатъ на c i - к ущу к » плоскость, и п у с т ь I есть длина этого перпендикуляра; т о г д а у р а в н е ш е с е к у щ е й плоскости будетъ; —г=0 . Ес ли и з ъ этого у р а в н е н 1 я и и»ъ уравнен1я йдлипсоида исклю- чимъ о д н у и з ъ к о о р д и н а т ъ . наприм^^' то получит. проэкц11о с - Ь ч е т я н а плоскость осу- Уравнеше этой проэкщи есть сл-Ь- д у ю щ е е ; ж® , J!/ ® I (< —'XX—^^yf __ ^ - r ^ j 2 ~ r - \^i^4 или / 1 , 'З'® "\ 2 2а8 I / 1 I \ .) , v j ' - « « " Н к + т ^ ) " «• Т а к ъ какъ крив ая с Ь ч е т я есть эллипсъ, то и проэкц1я ея б у д е т ' ь т акже э л л ип с ъ . Н а п и ш е м ъ посл 'Ьдиее уравнен1е въ mwli: Ax'-^i-Brviz+Cf •\-nx-\rFn-\-F=^{). Въ э т о м ' ь у р а в н е т и козффиц1енты А, 7? и С не зависятъ отъ Z; сл ' Ьдоват едьно они н е ин1Я'Ьняются съ изл'Ьнен1емъ разстоя- Н1я с ' Ь к у щ е й пло с ко с ти о т ъ начала координатъ и для нсЬхъ па- р а л я е л ь п ы х ъ сЬчешй им'Ьютъ однф и т'Ь-же величины. Отсюда с л Ь д у е т ъ , вопервымъ, ч т о направлеше осей въ цроэкщяхъ сЬ- leHifr о с т ают с я паралл е л ьными , такъ какъ иаъ теорш крнвыхъ в т о р а р о порядка ИЗБ 'Ь СТИО, что это наиравлете опред'Ьляется у г л о м ъ 0 , который о б р а а у е т ъ одна изъ осей съ осью ж, а ототъ у г о дъ выч и с л я е т с я п о формуЛ'Ь i g 2 e ^ ^ j y Но" т а к ъ 'какъ оси про9кц1и с'Ьчен}я суть, очевидно, npoaKnin осей с а м а г о с Ь ч е т я , т о заключаемъ. что оси с4чен1й, располо- ж е н н ы х ъ в ъ п л о е к о с т я х ъ параллельныхъ, будутъ сами другъ другу п а р а л л е л ь ны . ДалФе. е с л и для того, чтобы определить вели­ чины п о л у о с е й э л л ип с а , полученнаго въ проэкцш, мы перенесемъ с п е р в а начало к о о р д и н а т ъ въ дентръ, отчего уравнеше лри- ме тъ в и д ъ : а п о т о м ъ пов е рнеиъ о с и координатъ на уголъ 0 , то будемъ им4 т ь у р а в н е ш е upoaKniH въ вид4: