Курс вариационного исчисления

/ D — 143 — гд4 af есть абсцисса точки пересЬчетя касательно^ къ цепной лиши съ осью X. Пусть ^ и J5 дв4 данныя точки; построимъ I Ц 'Ьпную лишю АНБ и пусть Н будетъ ея вершина. Проведемъ въ ^ и jB касательный лиши ^ О и JBD и положимъ, что он4 пере- Сс\ сикаются выше оси ж. При пе- рем4щеп1и точки прикосновен1я отъ А жо Л абсцисса ж' полу,- чаетъ вс4 величины отъ ж' = ОС до ж'= -|- О и следова­ тельно ж' всегда . ^ О С . Если же точка прикосиоветя переме­ щается отъ В до Е, то х' принимаетъ всЬ значешя отъ х'= OJD до ж = — с о . Следовательно, если только касательный въ а 5 пересекаются въ точке, находят;сйса выше оси ж, то ж' ие мо- жетъ принимать всехъ возможныхъ значетй между— оо и -j- ос , а именно онъ не можетъ получать значен1й, содержащихся меж­ ду 0D и 00. Поэтому, если мы возьмемъ какое нибудь и сд'Ьлаемъ т — то выражете dy , dy ас^ ас^ не будетъ обращаться въ нуль между пределами интеграла, или на протяжен1и дуги кривой ЛЕВ, и тогда minimum будетъ воз- моженъ. Вычисливъ aw ^ U4-2/' МЫ видимъ, что > о и что, следовательно, minimnm су- dy' ществуетъ. Укажемъ еще на одну задачу, въ которой для отлич1я maximum'a отъ minimum'a не потребуется делать особаго разсмотретя. Я говорю о задаче, въ которой определяется видъ кривой, имею­ щей данную длину и образующей наименьшую или наибольшую поверхность вращешя (стр. 100). PbmeHie этой задачи отли­ чается отъ только что разсмотр±ннаго темъ, что вместо у сто- итъ 2/ + X, где X некоторое постоянное. Уравнете искомой кривой будетъ; Ж-С, X —d с, ~ У + +е -М. Если даны две неподвижныя точки, между которыми долж