Курс вариационного исчисления

— 138 — Но при интегрврован1и ло у лерем'Ьнное да и йж полагаются постоянными, потому иожеиъ положить f{x^y)^x = ф{у) и следовательно Ь\ f {оо,у)йхёу-t. \ (Ду-)сСу^ \ Ь [ (f(y)dy \=: сУч = S [({х,у)йхйу }, а потому ,-Л'2 ^уч Ь8 = \ \ b[f (x^y)dxdy}. •^2/1 Подобными образомъ можно получить вар1ад110 многократна- го интеграла вообще. Составиыъ, наЕонецъ, выражете вар1ац1и опрец'Ьленнаго ин­ теграла пХ2 8 = Vdx, гд']5 V = /(ж, у, у', у"...} и / означаетъ функдш данннаго вида. По найденному правилу будемъ им^ть; 5)5 = г 8(УЙа:) = L ^ 1 " г % /'J' или w = F . f a . -Г Л н - j " гд'Ь (ji = hy — у'Ьх представляетъ изи'Ьнете функд1и р. про­ истекающее исключительно отъ изм6нен1я ея формы. Последняя форма им^етъ полную аналопго съ т'Ьмъ выраже- ы1емъ вар1ац1и bS, которое мы им4ли при прежнемъ способЬ изложен1я началъ вар1ащоинаго исчислешя, когда предполага­ ли, что н е только фунЕцк ?/, но и пределы н подлежатъ варшроваихю (срави. формулу Ь8 на стр. 20 и дополнительное выражеше на стр. 62), только иодъ знакомь интеграла вместо прежней Ьу у насъ стоитъ безконечно малое ы. Понятно еано- собою, что новая формула подлежите такому же преобразованш интегрирован1я по частямъ, какое было сд'Ьлано надъ прежнею; всл'Ьдств1е этого будемъ им'йть также S S - F . 8 » , - r , U , + f * [ ( P . ) c H - T O s + W ) £ : + - - ] + 1 f —j I {J?){x^X^