Курс вариационного исчисления

— 136 — откуда видно, что dy есть безконечно м а л о е втораго порядка сравнительно съ dx, то, о.тбрасывая въ п е р в о м ъ уравненш член г третьяго Порядка (сравнительно еъ daf) находимъ Такнмъ образомъ цриходиыъ къ 8аключ;енш, что произведе­ т е ci:(x-{-^x)ci:{y-\-Sy) въ нашемъ двойномъ и н т е г р а л ^ должно быть заменено выражен1емъ: Ж Г = : ( 1 4 - ^ ) ( 1 +^ ) с г ж # ц сл'Ьдовательно искомая вар1ащя будетъ или опять ограничиваясь безконечно м а л н и и яизшаго порядка Возвращаясь къ данному выше выраже-^ Hiio вар1ащи отъ ^йжсг;!/,замФ>тимъчто еслив ъ равенство: В{ ¥ йаЯу) —^У ^хЩ1 -\--'7Ь [^хсТу) вм'Ьсто S F и В{ёаг £ у) полставимъ ихъ вы­ р аже ны, то можно также написать: 5(Г(?жсй/)= {№]+[ЗД Скаасемъ теперь, какъ брать Bapiau,iio о т ъ интеграла. Пусть, во первыхъ, им^емъ неопред'Ьленяый и н т е г р а л ъ S — j f[x)dx. Тогда п о опредЪлешю вар1ащи будемъ им'Ьть S)S = J Яа/)-|-§/(ж) j £ Г(Ж-4-8Ж)—-j* Дж)сгаз—J b{f{x)(Txy т , е. два симпола и могутъ быть пе р е с т а вл ены. Это последнее заключен1е, какъ видимъ, есть прямое сл'Ьд- cTBie сд^ланнаго опред'Ьленхя вар1ац1и. По л ожимъ теперь , что мы им'Ьемъ опред'Ьленный интегралъ: 8~ \ fix)Sx^ •въ которомъ Дж), перем'Ьнное независимое оо н пред'Ьлы подле- жа тъ варьированш. Пусть по прежнему есть фуикд1я бо