Курс вариационного исчисления

— 135 — Изъ этихъ двухъ уравнен1й мы найдемъ для dy то выражеше его чрезъ dY, которыиъ должно вамЬнить dy въ данномъ двой- ноиъ интеграл^. Тавъ ваЕъ въ нашемъ вытаслети мы должны ограничиваться безконечно малыми низшаго порядка, то заж-Ь- чая, что второе у р а в н е т е даетъ dbx ^ dx = 1 + Y ' dx откуда видно, что dx есть безконечно малое 3-го порядка сравнительно съ dy^ мы видимъ, что въ первомъ уравненш мы можеиъ отбросить членъ dx, который лредставляетъ без- конечно малое 3-го порядка. Такимъ образомъ первое уравне- Hie будетъ; с?(2/+5г/)=гГ ¥ =С1+^)Й2/. Еслнбы взяли изъ этого уравнешя dy, то, подставивъ его въ данный двойной интегралъ, мы ввели-бы вмЬсто у новое пере^ манное У, оставивъ еще прежнее переменное ж. Чтобы зам4 нить и это посл^Ьднее переи'Ьнное новыиъ, т. е. X , вообразимъ что въ нашемъ интеграл^ изм'Ьненъ порядокъ интегрировашя такъ, чтобы первое интегрирова01е производилось пр л;, а вто рое по Y , н потомъ вместо х предложимъ себЬ ввести X, свя­ занное съ X иосредствоиъ уравнешя Х--ж-}-ож. Тогда опять, такъ какъ при интегрироваши по Z , другое пе­ ременное Y должно быть оставлено постояннымъ, то для по- лучен1я выражения dx чрезъ ЙХ, мы должны дифференцировать X при услоЕ1и, что Y=const., или что ( f r = 0 ; такимъ образомъ получимъ два уравнешя; d{3;-\-ba})z=dX~d;v~\- йх-\- ^ —^dy, dTt/ = О, изъ которыхъ должно исключить dy я выразить dx чрезъ dX, Такъ какъ второе уравнеше даетъ dx dtj= —— dy