Курс вариационного исчисления

— 134 — н зам'Ьчая, что суммы dV , (TV , aV , dV .. _ rdVl iix ds ^ dp ^ J ' dY , dV . dV , dV,, _ dy~^w Ф ' + W ^ ' " ~ [ w \ представляютъ поляыя частныя производныя функщи V по х и по у, найдемъ окончательно L e J «+ 1 % ] ° ' + + ф S +••• Когда подъ знакомъ двойнаго интеграла входитъ выразкете Ydxdy, то вар1ад1я этого выражешя, если ограничимся безконечно малыми низшаго порядка, будетъ очевидно В( Ydxdy)={ У-|-5 — Ydxdy=Ь Vdxdy~\- Vb^dxdy) Чтобы получить вар1ацш b{dxdy), должно заметить, что она равна d{x-\-bx)d{y-\-by)-~ dxdy\ но при вычислети произведен1я ф+&ж)Г^-|-8г/); должно обратить особое внииан1е н а следующее. Въ двойномъ внтеграл'Ь V dx dy. производятся два интегрировашя: первое по у, при чемъ х раз- сматривается какъ постоянное, а второе по х. Если мы изиФнимъ X на a;-f-fte=X ц. у ш y-\-&y=Y, то въ новоиъ двойномъ интеграл'Ь, хготорый получится, будутъ произ­ водиться два интегрировашя по двумъ новыиъ перем'Ьнныиъ X и Y и, если первое будетъ производиться по Y то Хн а д о остав­ лять постояннымъ или наоборотъ. Следовательно замена х п у чрезъ и у-\-^у соотв^тствуетъ введен1ю новыхъ иеремЬи- ныхъ X и ЗГ въ данный двойной интегралъ. Эти новыя пере- м'Ьнныя суть функщи прежнихъ, ибо Ьх и 5у суть фуикц1и х и у каждая. Такимъ образомъ, чтобы получить d iy-]-by), мы на- ходнмъ во первыхъ (2(+й?/)=сгY=dy-\-^dx-{-'^- dy, в о вм'Ьст^ съ т4мъ, такъ какъ х должно быть при вычислен1и dY полагаемо лостоявнымъ, то d {x-\-bx)=dX=dx-\- dx d y = 0 . CLX: Cly