Курс вариационного исчисления

— 132 — щ и — происходитъ отъ изм4нен1я формы функц1и м, BwiscTBie- котораго и переменяется на и со; таже причина изи4нитъ- сТи сЫ , сЫ „ — на — и следовательно w ^ = — . Поэтому ^сЫ d^u л , dhi J. d'^u л , , (?a) Точно также получимъ ^du d'^u J. dht, J, , d'^u л , и т. д. Быдо-бы излишне писать формулы, выражающ1я capia- щ я частныхъ производныхъ высшихъ порядкОвъ. 0д4лаем.ъ замечаше о перестановке снмволовъ й и выра- жаюш;ихъ дЬйств1я дифферен11;прован1я и вар1ирован1я. Если мы HM'ieii'b дифференд1алъ йи, г д е и означаетъ какое угодно пере­ менное, зависимое или независимое, то при вар1ироваши выра- жешя, содержащаго сГм, изменяд функщю и на м-j-^M, мы изие- нимъ и du\ это изменеше или вар1ад1я du будетъ поэтому В {diC) = (?(м -j- — du — d8u, откуда видно, что символы б в. d, относящаеся къ одному и тому-же выраженш, могутъ быть переставляемы. Разсмотримъ теперь Bapiai^iro функд1и даннаго вида, содер­ жащей- ж, у, у', у",-..-, при чемъ у есть функ1];1я переменнаго- иезависимаго ж, а у\ у»,.--- ея производныя различныхъ поряд- ковъ. Пусть fix, у, f , у", у'",....) и положимъ, что X к у подлежатъ варшровашю. Будемъ иметь: §7 ^f{x-\-Bx, 2/,+^?/, у'-\-^У, y"-\-^'\....) — f{x, у, у', у",....), г де во второй части должны быть удержаны только члены пер- ваго порядка; следовательно; • Бставивъ сюда вместо Ьу, '8у'. 8у",... ихъ выражешя, выве- денныя выше, а именно 8у = у' 8х W, Sy' — у" оа; -f- '» =2/"= у"'Ьх + ш",