Курс вариационного исчисления

— 1 4 - велнчинй перем'Ьнныхъ независимыхъ. Такое опред'Ьлете вар1ац1и функц1и принято въ наиболее подробныхъ н обстоятельныхъ курсахъ новаго времени, между которыми сл^дуетг указать соян- нешя Штрауха, Джеллета, Штегиана, Муаньо-Жинделова н Тодген- тера, изъ которыхъ послЬдн1й авторъ издалъ превосходный трудъ по критической истор1и вар1ац10ннаг0 истаслен1я въ XIX столйии. Въ посл^дующихъ лекц1яхъ я буду держаться т4хъ воззр4н1й на вар1ацш, которыя были развиты новМшими писателя!а:н объ этом'ь предмет^, таиъ не мен^е, такъ какъ другое бол4е общее поняпе о вар1ац1н до сихъ поръ еще принимается многими уче­ ными и уже успело проникнуть въ область прикладныхъ наужъ, я нахожу необходимымъ изложить здйсь также сущность этого другаго воззр'Ьн1я на предмета, что и разсчитываю сделать въ конц'Ь настоящаго краткаго курса вар1ащониаго исчислен1я. Пристуцимъ затЬмъ къ ивложешю занимающаго насъ предмета. Объ HaM'IiHeHiax'b формы фупкд1и. Цоиятае о вар1ац1н. Въ вар1ац1онномъ исчисленм, какъ было сказано выше, раз- сматриваются изм4ивН1а величины функщи, происходящ1я отъ изм'Ьиешя ея формы, при чеиъ величина перем^ннаго независи- маго остается постоянной. Пусть У - есть некоторая функщя х изв^стнаго вида. Подожимъ, что мы изменили этотъ видъ, не изменяя вели­ чины перем^ннаго независимаго, и разсматриваемъ другую функ- ц ш JF (ж). Тогда разность F{x] — f{x) представитъ изм'Ьнеше, происшедшее въ величин^ первоначально данной функд1и, всл'Ьдств1е измйненк ея формы. Это измйненхе можно назвать конечной вархащей функщи. Но въ вapiaцioннoмъ исчислен1и разсматриваются не конеч- ныя вар1ац1и, а непрерывное изнйнеще формы функц1и, такъ что нереходъ f {х) къ функщи F{x) совершается не скачкомъ, но HenpepEtBHO, чрсзъ безконечно малыя изм^нетя величины функщи. Чтобы представить себ4 эти безконечно малыя изи'Ьнешя формы функцш, обратимся къ гшсли, высказанной еще Эйле- рои';ь. Именно, данную намъ фунйщю f{x) будемъ разсматрива,ть, какъ частный случай другой болфе общей функщи, содержащей KpoMi перем'Ьннаго независимаго х еще некоторый перем:Ьнный параметръ t. Пусть эта функц1я будетъ: