Курс вариационного исчисления

— 128 — весьма важиыхъ сочинен1ях'ь ло анализу и механик-Ь. Въ руко­ водители мы примемъ Остроградскаго, который своики вашями много саособствовалъ уяспеию началъ этой отрасли анализа. Въ дпффереищадьнои'Ь н с м с л е нш перем'Ьниому независимому X приписнвается безконечио м аюе приращен1е dx^ такъ вдо знаадше этого иерем-Ьниаго сжежное съ х есть ж-|-йа:, причемъ сСх есть безконечпо малое произвольное и не зависящее отъ ж; ири Дйфференцировав1и по ж оно принимается постоянныкъ. Въ BapianioHHOMb исэислеп1и перем^нпоиу аезавпеимоЕу ж при­ писывается безЕонетео малое изм'Ьнеше ^х, которое разсматри- вается, какъ некоторая функвди; при чем.ъ однако вядъ этой фу нкцй оставляется произвояьнымъ, а величина ея считается безкопечно малою, иорядка вообще одинаковаго съ dx. Это без- копечно малое изгЬнеп1е х назыпаетсп его вар1ац1е1о; оно шо- жетъ быть дифференцируемо по ж, такъ какъ Sx есть некоторая фувмця ж, Каждоку значение, npHHttiiaeaoEy перегЬниымъ неза- висимымъ, соотв^тствуотъ некоторая Bapian;ifi и, чтобы подучить вар1ац1ю ОТЪ' х-\-ёх т . е. 8{x-\~dx), должно, разсматривая знакъ S какъ характеристику некоторой функд1и, разложить эту функ- ц ш по Тейлоровой теорем^ и ограничиться въ этоиъ разложеа1и только иервыиъ порядкокъ по отпогаетю къ 8х: такииъ об- разомъ: S{x-{-dx) —8x-[-dSx. ПоложиЕЪ теперь, что разскатриваются вм'Ьст'Ь несколько незаинсимыхъ перем'Ьиаыхъ: ж, у , 0 . . . ; ихъ безконечно малыя изм'Ьнев1я вли вар1ад1и означаются чрезъ (5ж, §?/ и каждая изъ этихъ вар1адШ представляется, какъ н-Ькоторая без- конечио малая функция вс4хъ перем'Ьнныхъ независимыхъ х, у, S .... Если одно изъ иерем'Ьяныхъ, нацр. ж, изм'Ьнвтся наж-|-(?ж, то вар1ад1я его новаго з на ч е т я будетъ но прежнему Ы dx. Если же вс'Ь перем'Ьнныя ж, y,s.... одновременно увеличатся на свои дифференд1алы, то новымъ ихъ значешямъ x-\-dx, y-\rdy, будутъ cooTB'IsTCTBOBaTb вар1ад1онныя нзм'15нен1я bx-^-dbx, by-\'doy, bz-\-db0,.. гд'Ь, согласно Тейлоровой теорем'Ь, первые дифференц1алы dSx, d8y, dbg суть иолпые, а дифферепд1алн втораго и высшихъ порядаовъ отброшены. Составимъ теперь себ'Ь поняие о вар1ац1и функцш и возь- меиъ сначала функц!® одного перегЬннаго независциаго y = f{x).