Курс вариационного исчисления

- 125 — щи F (х, у], такъ что V = ^F{x,y)\ тогда будемъ ииЬть dx г.Х„ S — I Ydx = F {х.-^,у^ — F •«1 и следовательно воиросъ о наябольшеиъ или наименьшемъ значе- н1и jS , очевидно, не будетъ относиться въ вар1ащонноиу исчи- слеи1ю. Сд'Ьлаемъ еще заи'Ьчан1е о случа-Ь, когда V не содержитъ у\ а только X ц у. Уравнете (Р) = О приводится при этоиъ къ Р = О или къ — О и даетъ поэтому у — ф {х) безъ пронз- вольпыхъ поетоянныхъ При этоиъ будеиъ ик'Ьть • 8^8 г. . • и, если при у = ф [ж) выражете сохраняетъ свои знакь между пределами интеграла, не обращаясь въ безконечность, то будемъ ии'Ьть maximnm или muiimum, если только p ime n i e у — ф (х) окажется возможиымъ для данныхъ уелов1й задачи. Для прии'Ьра на црилолгеше этой теор1и возьмеиъ вопервыхъ задачу о брахистохрон^. Зд^сь ' ^ = 1 V l W V ' стало быть minimum моасетъ быть. Дал'Ье уравнете между ж, у, Cj и есть X = c^-\-c^arccos-^~ — ]/2cji!y— у''- и отсюда чрезъ дифференцировайе находнмъ частныя произ­ водная; - f f -= " S r i , „ „ „ / x - z f . dc^ у , de^ у с.^ Составамъ теперь выразкеше dy , dy •/ -h . dc^ • , dc,j Для краткости иоложиаъ, какъ обыкновенно дЬлается для циклоиды,