Курс вариационного исчисления

— 124 — Зам'Ьтииъ еще нъ заклгочеше н'Ькоторые частные случаи. Положимъ, что йгГ Легко нид'15ть, какую форму должно им'Ьть F, чтобы это было возможно. Интегрируя последнее ураннен1е, находнмъ: Ф(»•,!/). г д^ ф есть некоторая функщя, содержащая только а; и у . Инте­ грируя еще разъ, получииъ F = Ф(ж, у) Н- / . ' I (ж, у). Поэтому, въ разсматриваеиоиъ случай будеиъ им^ть: „ dr . с?ср , , 4 „ dV . dF, 4 , , 4 Р = —г ~ -у- —Ь у > Рл = T V =ФГ®,«/) И — ~ 4" ?/ г . dy dy dy ^ dy " • dx dx dy n урапнеше (P) = 0, гд'Ь dP (P)^P- ^ . ax будетъ: do 4 _ dy dx Это уравнеше даетъ у, какъ функцпо х безт. произвольныхъ постолнпыхъ: у — ф (ж). Это зиачитъ, что пред'Ьльныя точки, между которыми должна быть вронедева искомая кривая, не мо- гутъ быть нзяты совершенно произвольно: o n i должны нахо- днтьг.я на кривой, определяемой постоянныиъ ураиаев1емъ, ипаче задача ненозиожна. Въ этоиъ случа'Ь не будетъ однако §^5=0, лотомучто сделанное выше яреобразовап1е не будетъ су­ ществовать, и такъ каиъ при этомъ то будеыъ HttiTb чйС S'^S = 'l л (.оуУ. dx. %J />» n Для того, чтобы сохраняла свой знакъ, зд'Ьсь необходимо н достаточно, чтобы выражеше Р сохраняло одчпъ и тотъ же знакъ при изм'Ьненй х отъ х—х^ до х—х^. Можетъ случиться, что уравнеше ^ ^ — О удовлетво­ ряется тождественно; это будетъ значить, что ныражеше V — <р-1-2/'.ф есть полная вроизводная по ж отъ некоторой функ-