Курс вариационного исчисления

— 122 — Вотъ мы и преобразовали подъинтегральное выражеа1е въ желаемый видъ. Но это мы получили при услов1и, что v н е=0 ни при одномъзначейй х между и Если > 0 при нс'Ьхъ значетяхъ ж иежду пределами ин­ теграла, то S^S>0 и 3 будетъ minimum. (Р V Если < 0 , то 5 ®S'<0 и 8 будетъ maximum. d^V Если-же иФнлетъ свой знакъ между иред'Ьлаии интегри- ровашя, то очевидно, что, располагая величиною Sy, мы можемъ сд'Ьлать или такъ, чтобы положительная часть суммы въ инте- грал'Ь была больше отрицательной, или наоборотъ,—чтобы отри­ цательная была больше положительпон; стало быть въ этомъ слу­ чай Ь'^8 будетъ М 'Ьнять свой знакъ и н'Ьтъ ни maximum'a, пи minimum'a. Шкоторое 3aTpyAHeHie при этомъ разиотр'Ьип представляетъ ycлoвie, что v должно бытьне=0 между пределами интегрироватя. Разсмотрнмъ, къ чему приводитъ это услов1е. Опред^лиыъ ti; для этого им'Ьемъ уравнен{е cp{v)=^i), или тааъ какъ: by=v Sy=v <S —уравнен1е dy dy dy Зам'йтивъ, что заключаеиъ, что кoэффицieйты я р ч « , v', «" будутъ функщлми ж, с, и Cg. Сл-Ьдовательно, это есть линейное уравнепге съ иерем'Ьн- ными коэффнщеитами, а интегрировать Taitia у р а в я е йя мы не можемъ. Но зд'Ьсь 1штегряроваи1е совершится весьма просто. Возьмеиъ уравнеше ( Р ) = 0 и вообразимъ, что въ не то вместо у вставлено его выраасетег/=(;^(ж,|7| jC^). По вставк'Ь мы получимъ тож­ дество иежду ж, н Cg, Одафференцируемъ это тождество сперва но Cj и иотомъ но с^. Тогда получнмъ: djP) (hj , cl{P) dy' d{F)d f _ d%j ' dy' dc^ dy" dc^ ' dy dc^ ' dtf' ' dy" dc^