Курс вариационного исчисления

— 119 — Зат'Ьмъ мы можемъ оиред'Ьлить величины этихъ ностояиныхъ- ИЗЪ-уСЛОЕШ, Ч.ТО при X — Х\, у — и при X •= у = у^. Такимъ образомъ напдемъ = i?- (ж,, 2/1, и этимъ рФзнимъ первую часть вопроса. Цосл'Ь этого н амъ нуж­ но будетъ найти тЬ значешя: при которыхъ 8 будетъ maximum или minimum, и это будетъ вторая половина вопро­ са, которая можетъ быть р'Ьшена помощью обыкновенныхъ npie- шовъ днфференщальваго исчислеи1я. Жзъ этого saM'b^aHia сл4- дуетъ, что мы шожеыъ въ настоящемъ HscJ'bAOBaHlH ограничить­ ся разсмотр'Ьн1емъ того случая, когда пред'Ьлы иитегрирован{я и Ж2 и пред4льныя величины функщи у\ и уч постоянны. Въ. этомъ предположен1и и разсшотримъ вопросъ. Вар1ац1я перваго порядка есть nXi ^8 =='\ iF)Byix. "^Xl Вторая вар1ап,1я получится изъ выражетя BS чрезъ диффе- ренцироваи1е по параметру и будетъ §2^= Г ' i §(Р)(§2/ 4 - (P }S\j\ dx. Но у, сюда входящ1й, долженъ быть найдеяъ ивъ умов1я SS = О, или ( P j = О, сл#.довательно iXi S'S = ^ S(I>}Sydx. "Xi Теперь намъ предстоитъ разсмотр'Лзть, иожетъ ли это выра- жеше сохранять свой знакъ при совершенно проиввольныхъ ви- дахъ безкоиечно малой фунвдп Ьу. Для этого мы его преобра- зуемъ вонервыхъ сл'Ьдующниъ образом. ЗдЬсь ила, взм']&навъ порядокъ диффepeнп,иpo[^aвiй по ж п по # и взявъ- Bapian,iH, паходимъ rff/' ЛуЛу' йу '