Курс вариационного исчисления

- 118 — Услов1е BS=Q onpe s i j f l eTb иидъ неизвестной функщи у , но­ н е даетъ виолн'Ь опред'Ьленнаго значения д,ля ^^8, потомучто въ выражеше S, а сл'Ьдовательно и въ входятъ фунвда ароизвольнаго вида отъ х VL t, которыя съ изм'Ьнен1ем.ъ t иогутъ изменяться чрезвычайно разнообразно, почему и будетъ-. V at" JIS пзиеняться вместе съ ль, оставаясь при этоаъ, до известной степеяи, неопред'Ьленяымъ но виду н составу. Понятно поэто- иу, что изслъдован1е знака представить осооаго рода трудности, которыхъ вовсе не существовало въ тлкомъ-же во- n p o c i дифференщальнаго исчислешя, гд-Ь Sf было ваолне опре- ' ^ ) —вполне окределенныиъ коли- Ш" J о чествомъ, ниеющимъ знакъ (-|-) или (—). Вообще должно заметить, что вопросъ объ отлнч111 maxinium'a отъ mraiimm'a въ вар1ац1онномъ исчислети есть вопросъ весь­ ма трудный, который только для простыхъ интегралоЕЪ вполн'Ь разр'Ьшенъ знаменитыиъ Якобч. Для двойныхъ-же п вообще кратныхъ интеграловъ сущест" вуготъ только некоторый теорет0ческ1я изыска[пя, не пм'Ьющгя почти никакого практпческаго значен1я въ виду непреодолимыхъ затруднешй, встречающихся при иитегрпроваши уравнен1я, слу- жащаго д^я олределешя неизвестной функц1и. Да п для про­ стыхъ интеграловъ пзсдедован1е второй вар1ад1и оказывается слпшкомъ сложнымъ, если разсматрявается общ1п случай, когда въ выражеше 8 входятъ производныя у до произвольпаго п-го порядка. Поэтому мы ограничимся разборомъ только частиаго случал, именно будеиъ предполагать, что подъинтегральная функ- д1я содержитъ только х, у жу', или что У = Дж, у, у'). Этотъ частный случай имеетъ особенно важное значен1е, такъ какъ онъ обннмаетъ большую часть решенныхъ нами вопросовъ. Заметиыъ прежде всего, что вопросъ объ отысканги miixi- miim'a плн mmimum'a интеграла S мож.етъ быть разсматриваем'ь, какъ мы уже упоминали объ этомъ прежде, состоищимъ изъ двухъ частей. Сначала пределы интегрировая1я и х^, а также предельный 3Ha4eHifl фупкщн и у^, можно предполагать по­ стоянными, но произвольными, и искать вицъ функц1и, делаю­ щей S тахшшп ' омъ или т1п1тит'омъ. Мы получимъ въ р е ш е т и у = ф {X, Cj, с^), где с, и Oj цропзвольныя постоянный.