Курс вариационного исчисления

— 11 Г) - поверхности въ смежности съ разсиатриваемою точкою б у д е тъ •близко подходить к ъ формсЬ гиперболическаго параболоида. Существуетъ множество видовъ поверхностей minima. Между ними ваиболЪе замечательны; косой гелиЕОИдъ (неразгабающаяся винтовая поверхность) и поверхность вращен1я, образуемая д4пн010 лин{ею, обращающеюся около своей направляющей- Последняя форма, вцрочеиъ, была уже нами найдена, когда мы р ешали задачу о кривой линiи, которая, обращаясь около дай­ ной оси, даетъ наименьшую поверхность вращешя. Легко было бы поварить, что для этихъ двухъ поверхностей •средняя кривизна въ каждой точк^ действительно равна нулю. Поверхности minima могутт. быть воспроизведены въ действи­ тельности весьма простымъ способомъ. Известный физикъ Плато показалъ, что свойство им^ть среднюю кривизну равною нулю принадлежитъ поверхности, представляемой «сякою чрезвычайно тонкою жидкою оболочкою, вроде сгЬнка мыльнаго пузыря, масса которой почти равна нулю и которая потому можетъ быть раз- сматриваема, кавъ свободна» отъ д4йств1я силы тяжести и под­ чиненная только xbitcTiiiio силъ молекулярныхъ, если эта обо­ лочка своими об'Ьими сторонами находится въ соприкосновеши •съ свободнымъ воздухомъ. Употребляя для образован1я подобныхъ оболочекъ растворъ мыла, смешаннаго съ глицерипомъ, г. Плато сообщалъ имъ до­ вольно значительную устойчивость. Такимъ образомъ онъ полу- чилъ возможность изучать ихъ разнообразный н орагинальныя •формы, ограничивая ихъ различными контурами, приготовлен­ ными изъ дерева и проволоки. Напр., если взять два кольца рав- ных-ь д1амегровъ и, поместииъ ихъ почти въ соприкосновеши, ввести помоЩ1Ю кисти въ промежутовъ между ними некоторое количество приготовленнаго раствора и зат^мъ приподнимать осторожно верхнее кольцо, то образуется поверхность minimuni, которую г . Плато называетъ „катеноидомъ" и которая въ част- номъ случаЬ, когда лин1я, соединяющая центры колец'ь, остается перпендикулярною къ ихъ илоскостямъ, будетъ поверхность, образуемая вращешемъ Ц'Ьпной лиfliPI около ея направляющей. (Муаньо.) Задача Шъ всйхъ поверхностей, покрывающигь о динъ и тотъ-же объемъ, который съ другихъ сторонъ ог раниченъ данными поверх по стями, найти наименьшую. Требуется определить видъ функд1и дающей наименьшее 3!начен1е интегралу