Курс вариационного исчисления

— l U — Е[нтегрирован1е посл'Ёдняго уравнен1я возможно, хотя и за- т;руднительно. Въ первый разъ его интегралъ былъ данъ Мон- жемъ въ довольно сложной форм'Ь. Впосл'Ьдств1и были указаны ^ол'Ье пр о с т а я формы тосо же интеграла Bjorlrag 'OMt н Occia- номъ Бонне. Во всякомъ случай процессъ интегрирован1я слиш- Еомъ сложенъ и д ы не будемъ на немъ останавливаться. Огра­ ничимся только объяснешемъ геометрическаго значен1я получен" наго дифференц1альнаго у р а вн е т я , которое, очевидно, должно выражать некоторое свойство общее для всЬхъ поверхностей minima. Легко обнаружить, въ чемъ заключается это свойство. Припомнимъ изъ курса дйфференщальнаго исчислешя уравнеше, которое служитъ для опред']^лешя двухъ рад1усовъ кривизны главныхъ иормальныхъ сЬчвтй въ произвольной точк4 поверх­ ности; это уравненхе было следующее; Обоапачимъ его корни черезъ и это суть главные ра­ диусы кривизны поверхности въ разсматриваемой точк'Ь. Для поверхностей minima это квадратное уравнеше не будетъ им4ть втораго члена и следовательно „въ каждой точк4 такой поверхности Р|+Р2=<Ь «ЛИ р 1=~ р 2 , Т. е . два главные рад1уса кривизны равны и съ обратными знаками." 1 1 Иногда это свойство выражаютъ иначе. Величины — и — Pi р2 представляютъ M'Ii[iy крииизны въ двухъ главныхъ нормальныхъ сЬчешяхъ. Величину среднюю ариеметическую между этими двумя „главными" кривиннлми наяываютъ „среднею кривизною" поверх­ ности въ дааноп tomk I i. Эта средняя кривизна будетъ -l-fA- -PixPii. \ pi р2 / 2р|р2 и следовательно можно также сказать, что „въ каждой точк'Ь поверхности minimum средняя кривизна равна нулю." Выражен1е paдiycoвъ кривизны главныхъ пормальиыхъ с':'Ьче- Hifl для поверхности minimimi будетъ; ^ |/,S^— rt ' и следовательно въ каждой точк-Ь такой поверхности — r t > Q \ а потому „указательницею" будетъ вообще гипербола и форма