Курс вариационного исчисления

— 113 — (,1), большею частш остается бевъ ра5р'Ьтен1я. Въ 8аЕлючен1е настоящей статьи нредставимъ примеры н а приложеше изложенной теор1к. Задача 1-я. Определять форму поверхности, которая, будучи ограничена даннымъ контуромъ, была бы наименьшею по^величинЬ, Зд4сь, очевидно, нужно найти фориу функцш s, д'Ьдающей наименьшгшъ интегралъ 1 1 V i'' .'/i выражающЫ величину поверхности. Для разсматриваемаго случая им4ем.ъ: , dV ,, i V=- ^=0 , dV p dV q и у[)авнен1е (I), и8ъ котораго долзкенъ быть найденъ и, будетъ dx dy ' иди d Р . 0. 41. dx ]/ l-f-f'-'-f-a ]/i-\-^ ^+2'^ производя указанныя дифференцировашя, находимъ . у—J)y € ^ i i L = . ) / . t—i или, no упрощен!!!, Это есть уравнен1е съ частными производными втораго по­ рядка. Ег о общ1й интегралъ долженъ дать иыражен1е неизвестной функцш Въ составъ этого антеграда войдутъ дв'Ь произиодь- ныя функц1и, которыя будутъ определены изъ пред'Ьльныхъ усдовш. Но если, какъ мы и предподагаемъ, данъ определенный контуръ поверхностей, то пределы интеграла постоянны и isapia- Ц1Я & при пред^лахъ равна нулю; всл4дств1е чего въ выраже- Н1и oS останется одинъ первый членъ,а предельиыхъ уравнений не будетъ. Производьныя функц1и определятся изъ услов1я, что поверхность должна проходить чрезъ лин1и, изъ которыхъ со- стакденъ данный воатуръ.