Курс вариационного исчисления

— I l l — следовательно то есть, необходимое условхе maximum'a или miiiimum'a зд'Ьсь, какъ и прежде, будетъ Чтобы отличить maximum отъ minimum'a нужно будетъ определить знакъ второй вар1ацш at\ о Разсмотримъ, къ чему приведетъ насъ первое необходимое услов1е. Равенство S s = о должно им'Ьть м4сто при совершенно произвольномъ видЬ без- конечно малыхъ функц1й S0, 8г/ [которыя, впрочеиъ, могутъ быть подчинены изв'Ьстнымъ услов1ямъ), и при совершенно произ- вольныхъ вначен1яхъ безконечно малыхъ cfej и Предпо­ лагая первоначально, что не дано някакихъ услов1й, сгЬсняю- щихъ изм4нен1я ^ или пред/Ьловъ интеграла, мы можемъ для 8у и dXj^ и взять т айя нначен1я, которыя бы обращались въ нули при предйлахъ. Тогда въ выражен1и вар1ац1и 8 s уни­ чтожатся в сЬ члены, кроме перваго. Следовательно периый членъ долженъ равняться пулю при совершенно произвольной форме функц1и Ss. Но такъ какъ мы можемъ всегда выбрать & такъ, чтобы этотъ двойной интегралъ не равнялся нулю, если другой множитель не равенъ пулю, то мы ириходимъ къ заключенш, что этотъ множитель долженъ равняться нулю, т. е. ах dy ^ ' Разсмотримъ, каково это уравиен1е. Въ немъ, какъ мы знаемъ, ЙР dQ — и — означаютъ полныя производныя; следовательно, при dcG cty c^jp вычислети — нужно дифференцировать Р не только по х, CISC явнымъ образомъ входящему, но н по и д;, разсматривая эти лосл'Ьдтя, какъ функщи х. Далее, такъ какъ въ Р и Q уже входятъ j? и g, то после (^•-Р (.f О дифференцировашя въ —- и въ мы получимъ частныя про- СССС u/lj изводныя 2-го порядка, т. е. dx'' dy dx dy^''