Курс вариационного исчисления

Въ этомъ выражеши, заметишь, встречаются члены трехъ родовъ. Первый членъ—двойной интегралъ, содержащ1й ijapia- ц ш Ssi и, следовательно, зависящШ отъ формы, приписываемой этой фунЕц1и. 0л4дующ1е два члена н е зависятъ отъ формы Ssi, а только отъ пред'Ьльныхъ значенш, получаемхдхъ этою безко- вечно малою функц1ею при ж равномъ да и ж^, или при у рав- номъ yt и у^. Посл'Ьдн1е два вдена вовсе не зависятъ отъ Ss, а только отъ допускаемой услов1ями аадачи деформац1И контура той площади, на которую распространяется интегрирован1е. Эта площадь ( ABGD), называемая полемъ двойнаго интеграла, огра­ ничивается, какъ известно, двумя прямыми лин1ямя, параллель­ ными оси ординатъ и проведенными отъ пея на разстоян1и OF —xi и OQ =x^, и двумя кривыми лин1ями АБ и CD, изъ коихъ первая им'Ьетъ уравнен1е у—у^, а вторая—1/=?/^. ^ В ъ первомъ член4 суммоваше рас страняется на всю площадь {A-BGD). g . — В о второмъ суммован1е производится ® по ж на протяжен!!! двухъ кривыхъ ^ АЪ и CD отдельно, прп чемъ изъ Р Q ^ перво!! суммы вычитается вторая. Въ третьемъ член'Ь суммованхе произво­ дится по у на протяжен1и д в р ъ прямыхъ СА и DB я тоже берется разность между двумя результатами и i\ д. Обратимся теперь къ разсмотр'Ьнхю maximum а и minimnm'a двогтнаго интеграла. Услов1я maximum'a и minimum'a получатся зд^сь буквально Т'Ьии же разсужден1ями, какъ и при разиотр^- Hin простыхъ пнтеграловъ. Именно, будемъ полагать, что S = ф,Хх, у, t), t), у^=Ф^{хЛ), при чем'ь Bci эти функи,ш совер1!геннно пропзволып)!, но предполагается, что при t —l^ всЬ эти фуикц!!! П0луча!0тъ та- ю я именно значен1я, np!i которыхъ нашъ ннтегралъ Д'Ьлается maximum'oMx или шМт и т ' омъ . Тогда, раясыатрипая 6*, какъ функц110 (fj[t) параметра i, "мы можемъ сказать, что эта фу!!кщя при получаетъ япачепхе наибольшее или наименьшее п потому необходимое условхе будетъ;