Курс вариационного исчисления

— 106 — статочно переменить 6® на—6®, и следовательно имФли-бы Возвратимся теперь к ъ дифференщальному у р а вн е нш кривой, решающей разсмотр-Ьнную выше задачу; оно было: . ^ +X , f - c = 0. Сравнивая его съ двумя посл'Ьдними уравнен1ями, мы видимъ, что всегда возможно для а и Ь выбрать таюя значешя, чтобы у р а в н е т е кривой сделалось тождественнымъ съ однимъ ивъ двухъ предъидущихъ уравнешй и следовательно искомая кривая всегда можетъ быть описана фокусомъ н'Ькоторой кривой лиши 2-го по­ рядка, которая будетъ катиться безъ скольжен1я по оси ж. Наибольш1я и наименьш1я двойныхъ интеграловъ. Вопросъ объ отыскаши неизвестной функщи двухъ перемен- ныхъ, дЬлающей данный двойной нптегралъ наибольшимъ или наименыпямъ, есть вопросъ величайшей трудности, который даже въ самызеь простыхъ случаяхъ приводить къ интегрировашю уравнешя съ частными производными н е ниже 2-го порядка, а для интегрнровашя такого уравнешя, какъ известно, почти Н 'Ьтъ никакихъ средствъ въ наук'Ь. Кром4 того p i me n i e вопроса значи­ тельно усдожняется разсмотр'Ьшемъ пред'Ьльныхъ условий, кото- рымъ должна удовлетворять иеизв'Ьстиан функцтя. Мы разсмот- римъ- только пpocт'Ьйшiй случай этого вопроса для составлешя себе общаго понят1я о предмет^ и о т^хъ трудностяхъ, которыя встречаются ири приложенш вар1ац1оннаго исчислешя къ зада- чаиъ съ двойными интегралами. Именно мы будемъ предполагать, что въ двойномъ интеграл^ иходятъ кром'Ь перем'Ьниыхъ х, у, ss, только частныя производная 1.-го порядка. Пусть имеемъ выра- жен{е S= I I Ydx.dy, г д е V^f(x,y,s,p, q), при чемъ , какъ обыкновенно: