Курс вариационного исчисления

— 103— содержитъ только у и у', а потому для отыскания у должно ин­ тегрировать уравнеше Вставивъ вм'Ьсто V и Р ^ = — ихъ выраженгя, находимъ; или, по упрощещи, - - 7 ; = = + ^ г I ^2/ У Л- 1/1+?у'2 Если выведемъ отсюда у', то увидимъ, что посл'Ь интегриро- ван1я в-ь уравиеше кривой войдетъ эллиптичеекш интегралъ. Если точки А жВ, между которыми должна бытх^ проведена искомая кривая, даиы неподвижными, то пред'Ьльныхъ уравнен1й не будетъ и постояниыя определятся изъ данныхъ условш за­ дачи , Если одна изъ неподвижныхъ точекъ, н а п р . А, дана иа оси пращетпя и следовательно 2/i=0, то уравнен1е кривой долж­ но удовлетвориться, когда положнмъ 2/=0, и потому въ этомъ слу- 4a'Ji будетъ с=0; уравнеше кривой упростится и приметъ видъ: откуда найдемъ , Sv , У^У dx у у\^—уЧ и, чрезъ иитегрировате, ж— с' = —|/л'^— у"'', или ( ж — — Х'. Отсюда видимъ, что искомая кривая есть к р у г ъ , котораго центръ находится на оси вращен1я. Иоложимъ теперь, что искомая кривая должна обоими сво­ ими концами примыкать къ прямой дин1и параллельной оси х. Въ этомъ случа'Ь пределы x^ и жа будутъ п е р еме нны и будетъ им'Ьть м'Ьсто сл'Ьдующее предельное услов1е: Vidxi ~Fi Ах\-\- J F^.Sy =:Q. Ж( При этомъ, въ настоящемъ случай, будемъ им'Ьть, при преж- немъ обозначен1и: y^=f(x{)=const. и y^^f{x^)=const., а потому /•'(ж^=0 и f {x^)z^Q; такъ что пред'Ьльныя зиачешя