Курс вариационного исчисления

— 102 — ней длину. Это совершенно согласно съ т^мъ, что мы янаемъ И!!ъ леханики. При равнокЬсхи тяжелой нити, укрепленной концами въ двухъ неподпижныхъ точкахъ, ея центръ тяжеста занпмаетъ самое низкое 11оложен1е; съ другой стороны, тяжелая однородная нить иодъ Д'ййств1емъ силы тяжести располагается по ц'Ьиной л н т и ; а изъ этого и слЬдуетъ, что именно для ц1зи- ной лиши изъ Bcixb кривыхъ одинаковой длины ордината цент­ ра тяжести у будетъ наименьшею. Пользуясь извЬстнниъ изъ механики свойством^, можно былО' бы доказать, что ц'Ьиная л и т я изъ вс4хъ кривыхъ данной длины даетъ наименьшую поиархноеть враш,ея1я. Въ самомъ д'Ьл'Ь, по­ верхность праще тя по теоремЬ Гульдена выражается такъ 8—2т:ау, а это выражея1е будетъ mmimiim при у minimum. Задача 3. Найти такую ^кривую лишю, которая, обращаясь около данной оси, ограничивала бы т^ло вращен1я наибольшаго или яаименьжаго объема, при услов1и, чтобы поверхность этого тЬла им'Ьла данную величину. Удерживая п р ежт я обозначешя, им'Ьемъ зд'Ьсь выражеше объема 5=тг \ .dx и услов1е для поверхности г ^2 ^ 1=2 ^ I ж,' гд'Ь а данная величина. Такимъ образомъ намъ нужно опреде­ лить функщю у такъ, чтобы интегралъ I y'^^.dx былъ maximum или minimum при услов1и, чтобы р '^2 J у У dx= const. Ооставляемъ BbipaKeeie i + l / i • у-'®] (й;, ГД'Ь X есть неопределенное постоянное, и будемъ искать абсо­ лютный maximum иди minimum S. Зд'Ьсь подъинтегральная функц1я Г= у'^-^г'куУ\+^