Курс вариационного исчисления

101 - Интегралъ атотъ отличается отъ 1шражен1я S только п е р е - м'Ьной у на у -j- л. Мы нашли, что фупкщи у, обращающая этотъ ннтегралъ в ъ п потому для того, чтобы получить функц110, обращающую пъ minimum пыражен1е S, ед'Ьдуетъ переменить у въ поел'Аднеиъ ypaiiKeein на у -j- X; следовательно уравнеше искомой кривой будетъ: Это есть, очевидно, цепная лин1я. нанравдя1оп1;ая которой параллельна оси х и находится отъ нея па ])азстояп1й—А. Если точки ^ li JB даны неподипжнымп, то пред'Ьльныя усло1Пя удовлетворятся сами собой и постояпныя Л, с, н опре­ делятся HS7. ycлoвifI, что цепная лпшя должна проходить Ч1)еиъ данныя точки и при гомъ иметь данную длину а . Эт1шъ услои1ямъ вообще можно ' удовлетворить двумя способами плп двумя цепными лпшями, изъ которыхъ одна будетъ обращена своей выпуклостью, а другая своей вогнутостью къ оси х. При­ знаки, отдичающ1е maximum отъ minimum'a, гобнаруживаютъ, что первое расположен1е кривой даетъ наименьшую, а второе наибольшую иоиерхность (см. ниже). Если ate точки А и В должны лежать на двухъ дянныхъ лпнiяxъ, то, какъ не трудно убедиться изъ вычислета со­ вершенно сходнаго съ даннымъ выше, цеиная лишп должна пересекать эти кривыя иодъ ирямымъ угломъ. Зам'/п'нмъ, что только что приведенное вычислшпе решаетъ такяге следующую задачу; найти однородную кривую лишю, центръ тяжести ко­ торой, при дайной длине кривой, заипмалъ-бы самое низшее но- ложен1е. Если длина кривой есть а, ордината центра тя-.кести у, то, какъ известно, и у доллсеаъ быть определеиъ такъ, чтобы атотъ интегралъ былъ miiiiiniini;Ho этотъ пнтегралъ одпваковъ съ только что раясмотреннымъ, а потому ааключаемъ, что ценная лншя обла- даетъ темъ свопствомъ, что ея центръ тяжести лежитъ ниже цеитровъ тяжестей всехъ кривыхъ, имеющихъ одинаковую съ miuinnim, есть следуюпииг: X-Ci ft* —(, ?/ + Л = -^ (в '1 - f е ) i а,