Курс вариационного исчисления

— 11 — Не игЬя времени для по^тробнаго разбора изсл'Ьдовашй Яко­ ва Бернуллй, я ограничусь кратЕимъ изложен1емъ сущности его iipieMa p imeHi s задата объ изоперпметрахъ. Тотъ-же способъ съ небольшими изи'Ьнен1ями онъ приЕладывалъ и к ъ p imen i i o другихъ вопросовъ. При pf.meHiH подобныхъ задачъ приходилось сравнивать пло­ щади, ограннченныя двумя бевконечно близкими кривыми, Прин- ципомъ было принято, что если вривая обладаетъ свойствомъ inaximum'a или mi u imuma , то и каждая безконечно малая часть ея обладаетъ таквмъ-же свойствомъ. Безконечно малая часть эта разсиатривалась какъ состоящая изъ 2-хъ, 3-хъ, 4-хъ прямолиней- ныхъ элементовъ. Для этой части нужно было выразить, что длина ея остается постоянною; зат^мъ, пзм-Ьнивъ безконечно ма­ ло положете вершинъ воображаелой ломанной лин1и, заменяю­ щей кривую, получали дв'Ь площади, ограниченная двумя без­ конечно близкими кривыми. На основанш принципа, доказан- паго в ъ диффере17Ц1альном[ъ исчислеши, разность этихъ площа­ дей въ случай maximum'a или minimum'a площади должна быть равна нулю, такъ какъ эта разность представляетъ безконечно малое изм4нен1е площади, предполагаемой наибольшею или на- им[еньп1ею. Исключивъ изъ полученнаго такииъ образомъ урав- нен1я и изъ уравнен1я, выражающаго ycлoвie задачи, безконечно малыя изм'Ьнешя координатъ, получали уравнеше, р'Ьшающее вопросъ. После Якова Бернуллй вопросами того-же рода занимались съ ycnixoMi. Тейлоръ, Германъ, Маклорень и накопедъ знамени­ тый Эйлеръ, Посл'Ьдшй былъ лрнглашепъ къ решен1ю подобныхъ задачъ Иваномъ Бериулли, предложившимъ ему задачу о про- ведеши кратчайшей лин1п меясду двумя точками на данной по­ верхности. Для н'Ько'Горыхъ частныхъ случаевъ, именно; для поверхностей цилиндрическахъ, коническихъ и в4которыхъ ко- ноидовъ р'Ьшетя этого вопроса даны были еще Яковомъ Бер­ нуллй, который однако н е сообщилъ подробностей употреблен- наго имъ анализа. Эйлеръ, тогда еще молодой математикъ (въ 1729 году), въ заиискахъ Петербургской Академш Наувъ, далъ общее p'bnieHie вопроса. Съ того времени Эйлеръ не разъ воз­ вращался нъ вопросамъ этого рода. Такъ въ 1732 году онъ на- печаталъ еще мемуаръ, въ воторомъ былъ указанъ обпцй способъ для р'Ьшешя задачъ объ относительныхъ иаибольшихъ и наимень- шихъ,—такъ названы имъ вс§ задачи, въ которыхъ исколая кри­ вая лишл, обладающая свойствомъ maximum'a или minimum'a, должна при томъ удовлетворять какому-либо данному услов!»; попятно, что къ этой категорий вопросов,1< р р о с я т с д ч аадачи об'ь изоиериметрахъ,