Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

одних и тех же векторов, но записанных в различном порядке, считаются различными. Преобразование координат вектора. Пусть заданы два базиса e и e : e = Te , где T - матрица перехода. Пусть задан n вектор a , который в разных базисах можно представить как: a = ^ j a j e j и j=\ n n a = Z a e ' . Осуществим следующие преобразования: используя e i = ^t lj e j , м запишем j=\ i=\ a = Y ,a i e i = Y ^a i ^r ij e j = Z I Z a t e } . Следовательно ' j j L-i ' j j i=\ v j=\ J j=\ V '=\ J a Zaty , j = 1, n или (aa 2 .. .a n ) = (a\ a2.. a n )T или i=\ (a\a2,...a^ )=(a\a2...an )T - Пример. Задан базис e\, e 2 , e 3 и вектор a своими координатами: a = e\+ 4e 2 - e 3 . Новый базис задан матрицей перехода с соотношениями: ee 5 e^ e2 ^2 = 2 I 3 = 2 I I e^ Матрица перехода от одного базиса к другому имеет вид: T = ^ 5 - 1 - 2 2 3 0 V - 2 1 1 у ^ 3 - 1 6 Л . Тогда T - \ = V 8 - 3 17 у иметь (a\a 2 a 3 ) = (a\a 2 a 3 )T 1 = (1 4 -1) •2 1 - 4 . Вектор a в новом базисе будет координаты: = (-13 6 - 27). следующие ' 3 - 1 6 ^ -2 1 - 4 v 8 - 3 1 7 j Таким образом, в новом базисе вектор представим следующим образом: a = -13e\ + 6e2 - 2 7 e 3 . Линейные преобразования Пусть дано линейное пространство V n . Рассмотрим преобразование j: a е V n в вектор a е V n , который называется образом и обозначается как aj . Преобразование j линейного пространства V n называется линейным преобразованием, если: 1. (a + b)j = aj+ bj, то есть сумму двух векторов a и b переводит в сумму образов этих векторов. 3