Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

2. (aa)j = a(aj) Обобщая, можно записать следующее свойство: a a + a2 a 2 +... .a k a k )j = a (aj) + a2 (a 2 j)+ ... + a k ( a j ) . Пример. 1. В двумерном линейном пространстве векторов-отрезков, выходящих из начала координат плоскости, преобразование, переводящее вектор в его проекцию на некоторую ось, проходящую через начало координат будет линейным преобразованием. 2. Тождественное преобразование e: ae = a, нулевое преобразование w: arn = 0 будет линейным. Замечание. В литературе иногда используется другое обозначение и наименование: вместо термина «линейного преобразования j » используется термин «линейный оператор A » со свойствами: 1. A(a + b) = Aa + Ab 2. A(aa) = aAa Существует взаимнооднозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями j пространства V n и всеми квадратными матрицами размерности n в конкретном базисе, то есть в базисе e l ,e 2 ,....e n каждому линейному преобразованию j однозначно ставится в соответствие матрица А пш . Поэтому говорят, что A - матрица линейного преобразования j в базисе ei,e 2 ,....e n или матрица A задает линейное преобразование j в базисе e 1 ,e 2 ,....e n : ej = Ae. n n Если вектор a задан своими координатами a = ^a J e J , то aj = ^a J (ej) j=I J=I г e j или aj = (a x a2...a n ) e 2 j = (a 1 a 2 ...a n )ej = \(a 1 a 2 ...a n ) A]e. Следовательно, v e njJ aj = \(a 1 a 2 ...a n )A]e. Таким образом, строка координат вектора aj в базисе e 1 ,e 2 , e n равна строке координат вектора a в базисе e 1 ,e 2 , e n , умноженной справа на матрицу A линейного преобразования. Пример. Пусть в базисе ei, e 2 ,e 3 линейное преобразование j задается f -2 1 0 Л матрицей A = 1 3 2 V 0 - 4 1 ) . Если вектор a задан своими координатами, то есть e 1 a = 5e 1 + e 2 -2e 3 , то aj = \(a 1 a 2 ...a n )A]e = \(a 1 a 2 ...a n )A] V e 3 J e 2 4